第3章 《导数及其应用-3.3-3.3.3》 同步练习

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1、第3章《导数及其应用-3.3-3.3.3》同步练习一、填空题1．函数f(x)＝4x－x4在[－1，2]上的最大值是________．【解析】　f′(x)＝4－4x3，令f′(x)＝0得x＝1，又当x>1时，f′(x)<0，x<1时，f′(x)>0.∴f(x)在x＝1取得最大值f(1)＝3.【答案】　32．函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值和最小值的和是________．【解析】　f′(x)＝6x2－6x－12，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝2.但x∈[0，3]，∴x＝－1舍去

2、，∴x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0，2)2(2，3)3f′(x)－0＋f(x)5－15－4由上表，知f(x)max＝5，f(x)min＝－15，所以f(x)max＋f(x)min＝－10.【答案】　－103．函数y＝2x3－6x2－18x－7在[1，4]上的最小值为________．【解析】　y′＝6x2－12x－18＝6(x＋1)(x－3)，令y′＝0得x1＝－1(舍)，x2＝3.列表x1(1，3)3(3，4)4y′－0＋y极小∴y极小＝y

3、x＝3＝－61.∴y最小

4、＝－61.【答案】　－614．(2013·青岛高二检测)已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，则m的值为________．【解析】　f′(x)＝6x2－12x，由6x2－12x＝0x＝0或x＝2.当x>2或x<0时，f′(x)>0；当0

5、(a为常数)在[－2，2]上的最大值为5，那么此函数在[－2，2]上的最小值为________．【解析】　f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2.列表x－2(－2，0)0(0，2)2f′(x)＋0－f(x)极大∴f(x)极大＝f(0)＝a，∴f(x)max＝a＝5.∴f(－2)＝a－40＝－35，f(2)＝a－8＝－3.∴f(x)min＝－35.【答案】　－356．(2013·南京高二检测)设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，

6、则当

7、MN

8、达到最小时t的值为________．【解析】　

9、MN

10、的最小值，即函数h(x)＝x2－lnx的最小值，h′(x)＝2x－＝，显然x＝是函数h(x)在其定义域内惟一的极小值点，也是最小值点，故t＝.【答案】　7．在区间[，2]上，函数f(x)＝x2＋px＋q与g(x)＝2x＋在同一点取得相同的最小值，则f(x)在区间[，2]上的最大值是________．【解析】　依题意，得g′(x)＝2－.令g′(x)＝0，得x＝1.∵g(1)＝2＋1＝3，g()＝5，g(2)＝，∴当x＝1时，g(x)取得最小值3

11、.∵1∈[，2]且1不是区间的端点，∴x＝1是f(x)＝x2＋px＋q的对称轴，∴－＝1，＝3，解得p＝－2，q＝4.∴f(x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3.∴x＝2时，f(x)max＝4.【答案】　48．(2013·潍坊高二检测)设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对于任意x∈[－1，2]都有f(x)＞m，则实数m的取值范围是________．【解析】　∵f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1，又f(－1)＝－1－＋2＋5＝，f(1)＝1－－2＋5＝，∴

12、f(x)min＝，∴m＜.【答案】　(－∞，)二、解答题9．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．(1)当f′(1)＝3时，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)在区间[0，2]上的最大值．【解】　(1)f′(x)＝3x2－2ax.因为f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0.当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.当≤0，即a≤0时，f(x)在[0，

13、2]上是增加的，从而[f(x)]max＝f(2)＝8－4a.当≥2，即a≥3时，f(x)在[0，2]上是减少的，从而[f(x)]max＝f(0)＝0.当0＜＜2，即0＜a＜3时，f(x)在[0，]上是减少的，在[，2]上是增加的，从而[f(x)]max＝综上所述，[f(x)]max＝10．(2012·北京高考)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲