第3章 《导数及其应用-3.4》 同步练习

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1、第3章《导数及其应用-3.4》同步练习一、填空题1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________．【解析】　y′＝－x2＋81，令y′＝0，得x＝9，故x＝9是函数的极大值点，所以厂家获得最大年利润的年产量是9万件．【答案】　9万件2．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．【解析】　利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝

2、－x2＋230x－6000，S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0得x＝115，这时利润达到最大．【答案】　1153．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米．【解析】　设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y＝2(x＋)(x＞0)，所以y′＝2(1－)，令y′＝0，得x＝200或x＝－200(舍去)，当0＜x＜200时，y′＜0；当x＞200时，y′＞0，故当x＝200时，y取得最小值800，即矩形广场的周长至少为800米．【答案】　8004．某厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以

3、利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________．【解析】　设需建的矩形堆料场与原墙平行的一边边长为x米，其他两边边长为y米，则xy＝512，所砌新墙的长L＝x＋2y＝＋2y(y>0)，令L′＝－＋2＝0，解得y＝16(另一负根舍去)，当016时，L′>0，所以当y＝16时，函数取得极小值，也就是最小值，此时x＝＝32.【答案】　32米，16米5．(2013·江阴高二检测)某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，

4、若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x，0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是________．【解析】　由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20000，0≤x≤390，由P′(x)＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0；当300

5、析】　收入R＝q·P＝q(25－q)＝25q－q2，利润L＝R－C＝(25q－q2)－(100＋4q)＝－q2＋21q－100(0＜q＜200)，则L′＝－q＋21.令L′＝0，即－q＋21＝0，解得q＝84.当0＜q＜84时，L′＞0；当84＜q＜200时，L′＜0，所以当q＝84时，L取得最大值．【答案】　847．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为________．【解析】　设截去的小正方形的边

6、长为xcm，铁盒的容积为Vcm3，由题意，得V＝x(48－2x)2(0＜x＜24)，V′＝12(24－x)·(8－x)，令V′＝0，则在(0，24)内有x＝8，故当x＝8时，V有最大值．【答案】　8cm8．某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝1200＋x3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时，总利润最大．【解析】　设产品的单价为P万元，根据已知，可设P2＝，其中k为比例系数．因为当x＝100时，P＝50，所以k＝250000，所以P2＝，P＝，x>0

7、.设总利润为y万元，则y＝·x－1200－x3＝500－x3－1200，求导数得，y′＝－x2，令y′＝0得x＝25，故当x<25时，y′>0；当x>25时，y′<0.因此当x＝25时，函数y取得极大值，也是最大值．【答案】　25二、解答题9．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函

8、数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？【解】　(1)设需要新建n个桥墩，(n＋1)x＝m，即n＝－1，因此，y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝256(－1)＋(2＋)x＝＋m＋2m－256.(2)由(1)知，f