第3章《导数及其应用-33-332》同步练习

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1、第3章《导数及其应用・3.3・3・3・2》同步练习一、填空题1.己知函数)=心)的图象如图3—3—6所示，则函数的极值点共有个，极大值点为，极小值点为.图3-3-6【解析】根据极值的定义判断即可.【答案】4兀2，出X3，%62.函^y=X3+x2-x+&X=处取极大值.【解析】/=3x2+2x-1=(3x-l)(x+1).1丄当一1<工<亍时，)/亍或¥<—1时，y>o.・••函数在兀=—1处取极大值.【答案】一13.函数y=2x‘一6x?—18x+7的极大值是,极小值是【解析】y=6?-12x-18,令r(x)=O,解得xi=—l,X2=3

2、.列表：X(—cc,—1)-1(—1，3)3(3,+oo)+0—0+Ax)极大值/(—1)极小值r(3)/因此，当x=—1时，./(X)有极大值/(—1)=17,当x=3时，./U)有极小值兀3)=—47.【答案】17-474.(2013-深圳高二检测)已知函数)=启一15『+36x—24在x=3处有极值，则函数的递减区间为.【解析】”=3o?—30x+36.•・・x=3是极值点，.•.y

3、_Y=3=0,即27^—90+36=0,：・a=2,.*.y=6x2—30x+36.令y'vO,即6x2-30x+36<0,即x2-5x+6<0,2

4、的单调递减区间为(2,3).【答案】(2,3)x2+a1.若函数心)=兀+1在兀=1处収极值，贝怙=•x2+a【解析】・・/(兀)=(有“(,+q)'(x+1)—(£+q)(x+1)'=(x+1)2x2+2x—g=(x+1)2-又・・・x=l为函数的极值点，.••有广(1)=0.・•・1+2x1—。=0,即q=3.【答案】32.(2013-柳州高二检测)已知函^/(x)=x3+3+3(«+2)x+1既有极大值又有极小值，则实数G的取值范围是・【解析】./V)=3x2+6ax+3(a+2).令厂(兀)=0,^x2+2ax+a+2=0.・・7(x)既有极大值

5、又有极小值，・・/(x)=0有两个不相同的实数解，•••△=4/一4°一8>0,解得Q<—1或q>2.【答案】(一◎一1)U(2,+Q3.三次函数当x=l时有极大值4,当x=3时有极小值0,则此函数的解析式是・【解析】设/(x)=ax+bx+ex+,则f(x)=3ax2+2bx+c,由题意得厂(1)=广(3)=0,/(1)=4,./(3)=0,_3a+2b+c=0,27a+6b+c=0,即］a+b+c+d=4f、27o+9b+3c+d=0,解得：a=l,b=—6,c=9,d=0.【答案】—6x2+9x4.若a>0,b>0,且函^f{x)=4x3—ax—2b

6、x+2^.x=1处有极值，则ab的最大值等于【解析】f(x)=2x2-2ax~2b,•・・/(x)在x=l处有极值，・・・/(l)=12—2d—2b=0,:,a+b=6.又a>0,b>0,/.a+b^lylab,2y[ab<6,A^<9,当且仅当a=b=3时等号成立，・•."的最大值为9.【答案】9二、解答题1.(2013-长沙高二检测)设a为实数，函数/(x)=c“一2x+2a,xER.求心)的单调区间与极值.【解】由Ar)=e'—2x+2a,xeR；fcqf(x)=eY-2,x^R.令/V)=0,得兀=ln2.于是当兀变化时，/(X),./U)的变化

7、情况如下表：X(—00,In2)In2(In2,+oo)—0+2(1—In2+q)故/(X)的单调递减区间是(一00,In2),单调递增区间是(In2,+oo),心)在x=ln2处取得极小值,极小值为/(山2)=e,n2-21n2+2a=2(l~ln2+a).2.已知函数沧)=亦+加牛加在x=—1处取得极值，且在点(1,/(1))处的切线的斜率为2.(1)求g,b的值；(2)求函数y=心)的单调区间和极值.卩(一1)=03a-2b+2=0【解】(1)f(x)=3ax2+2bx+21由题意得f()=2，即3a+2b+2=2，解得一1心一亍111,经检验

8、，符合题意，故Q=—亍，b=2・.b=2(2)由(1)得/V)=—J+x+2=—(x+l)(x—2),令/〔x)=0,得兀=—1或x=2.当x变化时,./V),/(兀)的变化情况如下表;X(-00,-1)-1(T，2)2(2,+oo)f(x)—0+0—•心)极小值极大值由表可知，./(X)的单调递增区间为(一1,2),单调递减区间为(-co,-1),(2,+oo),107函数心)的极大值为/(2)=了，极小值为7(—1)=—3.设函数Ax)=x'—3qx+〃G#0).⑴若曲线y=./(x)在点(2,./(2))处与直线相切，求°,b的值；⑵求函数/(x)的

9、单调区间与极值点.【解】(l)f(x)=3x2-3a.因为曲线p=