第3章 《导数及其应用-3.3-3.3.1》 同步练习

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1、第3章《导数及其应用-3.3-3.3.1》同步练习一、填空题1．(2013·南京高二检测)函数y＝x3－3x2＋1的单调递减区间为________．【解析】　y′＝3x2－6x＝3(x2－2x)，令y′<0，可得0

2、___．【解析】　y′＝1－2sinx，解1－2sinx＜0即sinx＞得x∈(，π)，∴单调减区间为(，π)．【答案】　(，π)4．设f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图3－3－3，则导函数y＝f′(x)的图象可能为下图中的______(填序号)．图3－3－3【解析】　由函数y＝f(x)的图象可知，当x＜0时，f(x)单调递增，当x＞0时，f(x)先增、后减、再增，故y＝f′(x)图象满足的特征为：当x＜0时，f′(x)＞0；当x＞0时，f′(x)按先正再负后正的次序变化，只有④满足．【答案】　④5．若函数f(x)＝x3－x

3、2＋ax－2在区间[，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是________．【解析】　f′(x)＝3x2－2x＋a＝3(x－)2＋(a－)，当x＝时，f′(x)取最小值a－，∵x∈[，＋∞)，f′(x)≥0恒成立，∴a－≥0，∴a≥.【答案】　[，＋∞)6．若函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0，2)内单调递减，那么常数a的值为________．【解析】　f′(x)＝6x2＋2ax，令6x2＋2ax<0，若a>0，解得－

4、x)在(0，2)上单调递减，知a＝－6.【答案】　－67．(2013·泰安高二检测)函数f(x)＝ax3－x在R上是减函数，则a的取值范围是________．【解析】　f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，∴3ax2≤1.(1)当a≤0时显然成立．(2)当a＞0时，a≤无解，∴a的取值范围是(－∞，0]．【答案】　(－∞，0]8．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．【解析】　对y＝－x3＋bx求导，得y′＝－4x2＋b.因为函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，所以方程－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根

5、，则Δ>0，故b>0.【答案】　b>0二、解答题9．已知函数f(x)＝x3－x，求函数f(x)的单调区间．【解】　由f(x)＝x3－x得f′(x)＝3x2－1＝3(x－)(x＋)．当x∈(－∞，－)和(，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－，)时，f′(x)<0.因此，f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；单调递减区间为(－，)．10．已知函数f(x)＝x2＋alnx.(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调减区间；(2)若g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．【解】　(1)函数的定义域为(0，＋

6、∞)，当a＝－2时，f(x)＝x2－2lnx，∴f′(x)＝2x－＝.由f′(x)<0得－10，∴当a＝－2时，函数的单调减区间为(0，1)．(2)由题意知g(x)＝x2＋alnx＋，∴g′(x)＝2x＋－，若g(x)在[1，＋∞)上为增函数，则g′(x)＝2x＋－≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立，令h(x)＝－2x2，则h′(x)＝－－4x<0，∴h(x)在[1，＋∞)上单调递减，∴h(x)max＝h(1)＝0，∴a≥0.∴所求a的取值范围为[0，＋∞)．11．(2013·洛阳高二检测)

7、已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1，讨论函数f(x)的单调性．【解】　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝.当a≥0时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－1时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－1＜a＜0时，令f′(x)＝0，解得x＝.则当x∈(0，)时，f′(x)＞0；x∈(，＋∞)时，f′(x)＜0.故f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．