第八章第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系

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1、第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d0相切d＝rΔ＝0相离d>rΔ<02.圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解

2、相交

3、r1－r2

4、

5、r1－r2

6、(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<

7、r1－r2

8、(r1≠r2)无解[做一做]1．直线3x＋4y＋1＝0与圆(x＋2)2＋(y－3)2＝9的位置关系为(　　)A．相交　　　　　　　　B．相切C．相离D．不确定答案：A2．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　)A．外离B．相交C．外切D．内切答案：B1．辨明两个易误点(1)对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在的情形．(2)两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．2．圆的切线问题(1)过圆x

9、2＋y2＝r2(r＞0)上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2；(2)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)外一点M(x0，y0)引切线，有两条，求方程的方法是待定系数法，切点为T的切线长公式为

10、MT

11、＝＝(其中C为圆C的圆心，r为其半径)．3．求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则()2＝r2－d2.(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

12、AB

13、＝

14、x1－x2

15、＝.注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．[做一做]3．圆Q：x2＋y2－4x＝0在

16、点P(1，)处的切线方程为(　　)A．x＋y－2＝0　　　　　B．x＋y－4＝0C．x－y＋4＝0D．x－y＋2＝0解析：选D.因点P在圆上，且圆心Q的坐标为(2，0)，∴kPQ＝＝－，∴切线斜率k＝，∴切线方程为y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0.4．(2014·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：圆心为(2，－1)，半径r＝2.圆心到直线的距离d＝＝，所以弦长为2＝2＝.答案：__直线与圆的位置关系__________________　(1)(2013·高考陕西卷)已知点M(a，b)在

17、圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)A．相切　　　　　　　　　B．相交C．相离D．不确定(2)(2013·高考湖北卷)已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：xcosθ＋ysinθ＝1.设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k＝________.扫一扫　进入91导学网(www.91daoxue.com)直线与圆的位置关系　　[解析]　(1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，从而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝＜1，所以直线与圆相交．(2)∵圆心(0，0)到直线l的距离为1，又∵圆O的半径为，故圆上有4个点符合条

18、件．[答案]　(1)B　(2)4[规律方法]　判断直线与圆的位置关系常见的方法：(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程随后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．　1.(2015·山东聊城模拟)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为(　　)A．1B．2C．3D．4解析：选C.因为圆心到直线的距离为＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．__圆与圆的位置关系___

19、_________________　已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时，(1)圆C1与圆C2外切；(2)圆C1与圆C2内含．[解]　对于圆C1与圆C2的方程，经配方后得C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9；C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.(1)如果C1与C2外切，则有＝3＋2.(m＋1)2＋(－2－m)2＝25.m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.∴当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2外切．