项分布与正态分布

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1、(了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题/利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义)10.9二项分布与正态分布1．相互独立事件的定义：设A，B为两个事件，如果P(A∩B)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．若A与B是相互独立事件，A与，与B，与也相互独立．2．独立重复试验的定义在相同条件下做的n次试验称为n次独立重复试验．3．独立重复试验的概率公式一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，如果在每次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验

2、，事件A恰好发生k次的概率P(X＝k)＝.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．4．总体密度曲线：样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，这条曲线就是(或近似地是)下列函数的图象：φμ，σ＝f(x)＝，(－∞＜x＜＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数．我们称φμ，σ的图象为正态密度曲线．5．正态分布：一般地，如果对于任何实数a

3、布．记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)6．正态曲线的性质(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交．(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．(3)曲线在x＝μ处达到峰值．(4)曲线与x轴之间的面积为1.(5)μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中．1．标准正态分布的平均数与标准差分别为()A．0与1B．1与0C．0与0D．1与1解析：由标准正态分布的定义知．答案：A2．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示

4、第二次摸得白球，则A1与A2是()A．互斥事件B．相互独立事件C．对立事件D．不相互独立事件答案：D3．如果ξ～B，则使P(ξ＝k)取最大值的k值为()A．3B．4C．5D．3或4解析：采取特殊值法．∵P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝从而易知P(ξ＝3)＝P(ξ＝4)>P(ξ＝5)．答案：D4．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为________．(精确到0.01)解析：由已知p＝0.80，则P5(3)＋P5(4)＋P5(5)＝0.94.答案：0.941.事件间的“互斥”与“相互独立”

5、是两个不同的概念，常因为将它们弄混而发生计算错误；两个相互独立事件不一定互斥即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生．2．再如三个事件两两独立，但三个条件不一定独立．【例1】3名战士射击敌机，1人专射驾驶员，1人专射油箱，1人专射发动机，命中的概率分别为、、，每个人射击是独立的，任1人射中，敌机被击落，求敌机被击落的概率．解答：解法一：本题等价于至少有1人射中的概率．而至少有1人射中的对立事件是3人都未射中．设A、B、C表示3人射击1次都击中的事件，则表示3人射击都未击中的事件．而至少有一人射中的概率为P.∴P()＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P

6、(C)]＝则P＝1－P()＝解法二：至少有1人击中包括3种情况：①1人击中；②2人击中；③3人都击中．∵射击1次，∴以上3种情况互斥．∴敌机被击落的概率是：P＝＝变式1.在如右图所示的电路中，开关a，b，c开或关的概率都为，且相互独立，求灯亮的概率．解答：解法一：设事件A、B、C分别表示开关a，b，c关闭，则a，b同时关合或c关合时灯亮，即A·B·，A·B·C，或·B·C，A··C，·C之一发生，又因它们是互斥的，所以，所求概率为：P＝P(A·B·)＋P(·B·C)＋P(A·B·C)＋P(A··C)＋P(··C)＝P(A)·P(B)·P()＋P()·P(B

7、)·P(C)＋P(A)·P()·P(C)＋P()·P()·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＝5×()3＝解法二：设A，B，C所表示的事件与解法一相同，若灯不亮则两条线路都不通，即c一定断开，a，b中至少有一个断开，而a，b中至少有一个断开的概率是：1－P(A·B)＝1－P(A)·P(B)＝.所以两条线路皆不通的概率为：于是，灯亮的概率为P＝1.独立重复试验是独立事件同时发生的特殊情况．2．独立重复试验，是在相同的条件下重复地、各次相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验中只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且在任何一次试验中发生的

8、概率都是一样的，牢记n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算