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1、§2随机事件的概率研究随机事件时，不仅希望了解哪些随机事件可能出现，而且希望知道事件出现的可能性的大小。而“概率”的概念正是源于这种需要而产生的。本节课的安排大致如下一、概率的统计概念及性质二、古典概型的研究三、几何概型的研究四、小结定义1设在相同条件下进行的n次试验中事件A发生nA(频数)次，称比值①若是两两互斥事件组，则为事件A发生的频率。1、频率频率具有下列性质：②③一、概率的统计定义实例将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做7遍,观察正面出现的次数及频率.试验序号12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.
2、21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502波动最小随n的增大,频率f呈现出稳定性实验者德.摩根蒲丰K.皮尔逊K.皮尔逊204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005频率具有下列特点：随机波动性—在第五章将证明贝努里大数定理:从理论上保证了利用频率稳定值量度事件发生的可能性大小(概率)的可行性.频率稳定性—对相同或不同的试验次数，同一事件的频数不一定相同，从而所得的频率也不一定相同，因而无法用频率来量度事件发生
3、的可能性的大小；随着试验次数的无限增大，事件的频率逐渐稳定于某个常数。因而可用该常数来度量事件发生的可能性的大小。重要结论频率当n较小时波动幅度比较大,当n逐渐增大时,频率趋于稳定值,这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件的概率.2、概率的统计定义事件A发生的频率的稳定值p称为A的统计概率，即定义当试验次数n相当大时，可以用频率作为概率的近似值：定义2设Ω为随机试验E的样本空间，对E的每个事件A，称满足下列公理的实数(集合函数)P(A)为事件A的概率:3、概率公理化定义由频率的三条性质演绎为三条公理，由此可得度量事件发生可能性大小的概率的公理化定义.、非负性
4、、规范性、可列可加性设为两两互斥事件组,则有4、概率的性质由概率的公理化定义可得概率的性质:性质1P(Φ)=0.〖证〗由定义2的第2条，可知ΦS=Φ,Φ∪S=S得:得:性质2设为两两互斥事件组,则有[有限可加性]性质3[概率减法公式]〖证〗且由可加性移项得〖证〗将事件B分解为互斥事件的和事件得：推论若,则由有限可加性得:即得:由非负性得:减法公式有条件〖证〗因为即注意：公式在计算概率时是非常有用的.当直接计算某事件概率比较困难时,可以转而计算其对立事件的概率，进而利用上述公式所需的概率.性质4所以由有限可加性及规范性得:〖证〗将A∪B互斥分解得:又故由有限可加性与减法公式得:加法公式性
5、质5加法公式可推广至有限个事件的和事件.例如，三个事件的加法公式:n个事件的加法公式请看教材,掌握其规律.在应用文氏图的直观性时，可以把事件A的概率视为该平面集合A的面积，注意P(S)=1。利用此观点容易理解和记忆一些概率公式（例如，减法公式，加法公式，乘法公式等）。设A,B,C为三事件,P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=0.125.求A,B,C至少有一个发生的概率.〖解〗由于,故利用概率非负性与减法公式得:即由三事件的加法公式得“A,B,C至少有一个发生”的概率为:【例1】注意：选择有助于解题,但若从无法确定的值.解【例2】SABAB二、古
6、典概型定义3具有下列特点的随机试验称为古典概型(等可能概型):1、试验的样本点只有有限个;2、试验中每个基本事件发生的可能性相同.下面讨论古典概率中事件概率的计算公式设古典概型E的样本空间为且每个样本点出现的概率的都相同，于是有又由于基本事件是两两互不相容的，于是从而得：设古典概型Ｅ的样本空间Ω含有n个样本点，事件Ａ包含k个样本点，则事件Ａ的概率定义为有利场合数基本事件总数显然，计算古典概率关键在“计数”上，常用到排列和组合的知识。可见，事件A的古典概率等于事件A所含样本点总数[有利场合数]与样本空间所含样本点总数[基本事件总数]之比；即事件A的概率只与A中所包含的样本点的个数有关，而与
7、A包含的是哪几个具体的样本点无关的。将一枚均匀骰子连掷两次，求下列事件的概率：（1）A：两次点数之和为8；（2）B：两次点数中最大点数不超过3。【例3】〖解〗不难看出：样本空间为（1）。因为样本点总数:事件A的有利场合数:所以由古典概率计算公式得：（2）因为样本点总数:事件B的有利场合数:所以由古典概率计算公式得：【例4】设有N件产品,其中D件为次品.现从中作不放回抽样任取n件,求其中恰有k(k≤D)件次品的概率.〖解〗从N件产品中
