《多元统计检验》PPT课件

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1、第七章实用多元统计分析7.1.1引言前述研究的总体（或观测指标）都是一个变量（一维）的情形。研究一维随机变量的分布、数字特征等统计特性——一元统计方法。多元统计分析是运用概率论、数理统计线性代数和一元统计方法为基础来研究多维随机变量（指标）问题的一类数学方法，是一元统计学的推广。在实际问题中，多维随机变量普遍存在。很多随机现象涉及到的变量不止一个，且这些变量间又存在一定的联系。7．1多元分析的基本概念例:表1－112名学生5门课程的考试成绩序号政治(x1）语文(x2)外语(x3)数学(x4)物理(x5)123456789101112999910093100907

2、59387957685948898889178738473827275939681887282888360904350100999799969597687662673410097100967897898884397837如果仅用一元统计方法作成绩分析，每次分析处理一门课程的成绩，由于忽视了课程之间可能存在的相关性，因此，一般说来，丢失的信息太多，分析的结果不能全面反映全年级的学习情况。需要研究很多问题：用各科成绩的总和作为综合指标，来比较学生学习成绩的好坏；根据各科成绩相近程度对学生进行分类（如成绩好的和成绩差的，又如文科成绩好的与理科成绩好的）；研究各科成绩之

3、间的相关关系（如物理与数学成绩的关系，文科成绩与理科成绩的关系等）；——都属于多元统计分析的研究内容。多元分析是以p个变量的n次观测数据所组成的数据矩阵为依据，对p维总体进行统计推断的。英国著名统计学家肯德尔（Kendall）在《多元分析》一书中把多元统计分析的研究内容和方法概括为以下几个方面：简化数据结构（降维问题）将复杂的数据结构通过变量代换等方式使相互依赖的变量（较多）变成（较少）互不相关的；或把高维空间的数据投影到低维空间，使问题简化而损失的信息又不太多。例如，主成分分析、因子分析等一类方法；分类与判别（归类问题）对所考察的观测点（变量）按相似程度进行分

4、类（或归类）。如聚类分析、判别分析等；变量间的相互联系相互依赖关系：分析一个变量或几个变量的变化是否依赖于另一些变量的变化？如果是，建立变量间的定量关系式，并用于预测或控制——回归分析；变量间的相互关系：分析两组变量间的相互关系——典型相关关系。参数估计与假设检验检验由多元总体参数表示的某种统计假设，据此证实假设条件的合理性。7.1.2多元统计分析的应用教育学：体育运动项目的研究（因子分析）；医学：利用多元统计方法可建立诊断的准则（即专家系统）；气象学：气候预测,气候信息分析；环境科学：大气污染问题（假设检验、回归分析）；地质学——地质数学：矿石归类（判别分析）

5、;考古学;服装工艺;经济学：经济现象分析，预测，实证研究;工、农业：试验方案的优化;社会科学:根据研究对象进行某种分类（聚类分析）;文学;其它.7.1.3样本与常用统计量多维随机向量（P381-P389）多元统计分析的基本概念包括分布、数字特征、正态随机向量等，与一元统计分析类似有关概念如下：统计总体G，用p个数量指标来刻画：视X为一个p维随机变量。对总体进行n次独立的观察（抽样）得到观测数据称为样本，每个称为样品，记为矩阵X称为原始数据矩阵或（多元）样本数据矩阵。总体的均值向量、协方差矩阵、相关矩阵分别为其中多元统计分析的任务：一是分析各观测数据之间的关系；二

6、是推断总体的某些性质。常用统计量样本均值（向量）、样本协方差矩阵、样本相关矩阵分别为其中是一元统计中样本统计量的自然推广。对于i,j=1,2,…,p,有：讲解例7.1(P270)定义7.1:如果样品的函数,满足1）2）3）则称是样品之间的距离。7.1.4距离为测度p维空间两个样品之间的差异，对样品进行分类,引入”距离”。数学上对距离(如欧氏距离)的三个公理:非负性、对称性和三角不等式。常用的距离欧氏距离不足之处:各分量的单位不同时,比较没有意义。如考察患病指标＝(白血球数，体温)，有三个样品但从医学常识看，显然是个谬误。（“大数吃小数”，数值分析）。因此要考虑各

7、项数值的加权问题。马氏距离定义：为样品之间的马氏距离；为样品到总体的马氏距离。其中:μ,V分别是总体G的均值向量和协方差。离差大的分量在距离中相应削弱它的影响程度。不足之处:马氏距离与测量单位无关,夸大了变化微小的变量的作用。B－模距离对于给定的正定矩阵B,定义为样品Xi与Xj之间的B－模距离；闵可夫斯基距离为样品Xi与Xj之间的闵可夫斯基距离q=2时为欧氏距离,q=1时为绝对距离,q=+∞时为切比雪夫距离。讲解例7.2（P274）7.2多元正态分布的参数估计与检验7.2.1预备知识与一元类似，多元正态分布在多元统计分析中处于中心地位。原因有三：大量实际问题服从

8、正态分布；由中心极限定理