2.基本不等式 (4)

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1、基本不等式（第一课时）教案一、教学目标1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题；理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几何解释→应用（最值的求法、实际问题的解决）的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来

2、，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。二、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。难点：1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。三、教学过程：（一）．激趣定向如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不

3、等关系吗？在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为，那么正方形的边长为．于是，4个直角三角形的面积之和，正方形的面积．由图可知，即．探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为和（），考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？通过学生动手操作，探索发现：（二）．自学探究根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若，则．若，则．学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进

4、一步完善不等式结论：（1）若，则；（2）若，则请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明．证法一（作差法）：，当时取等号．（在该过程中，可发现的取值可以是全体实数）证法二（分析法）：由于，于是要证明，只要证明，即证，即，该式显然成立，所以，当时取等号．得出结论，展示课题内容基本不等式:若，则（当且仅当时，等号成立）若，则（当且仅当时，等号成立）深化认识：称为的几何平均数；称为的算术平均数基本不等式又可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数DCABEO探究三：如图，是圆的直径，点是上一点，，．过点作垂直于的弦，连接．根据射影定理可得：由于Rt中直角边斜边，于是有当且仅当点与圆心重合时，

5、即时等号成立．故而再次证明：当时，（当且仅当时，等号成立）（进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性）（三）互动交流例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）对于，（1）若（定值），则当且仅当时，有最小值；（2）若（定值），则当且仅当时，有最大值．（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精

6、神．）并通过例2、3及其变式引导学生领会运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略．（四）．归纳提升基本不等式：若，则（当且仅当时，等号成立）若，则（当且仅当时，等号成立）（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）；（2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法．思考题：（作业）1.已知，且，求的最小值．2.设，且，求的最小值．