2.基本不等式

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1、基本不等式导学案一、教学内容解析本节内容是《普通高中课程标准试验教科书（人教A版）》选修4-5第二章《不等式和绝对值不等式》的第五节第二课时，是高中不等式学习中应用的重点内容。以定理的形式引入关于实数的一个非常重要的不等式。基本不等式是重要不等式的推广。学生通过正实数平方构造，模仿重要不等式证明，讨论平方构造过程的存在合理性、定值问题、等号成立条件。形成基本不等式的三大要素“一正、二定、三相等”。经历将实数长度化，代数问题用几何解释的过程，提升学生学科素养。通过思考、讨论、探究、归纳等过程。提升学生数学抽象、逻辑推理、数学运算等基本素养。通过实例判断加深基本不等式三大要素“一正、二定

2、、三相等”理解，通过基本不等式解决某些特殊类型的极值问题，体验其解决问题的独到之处。通过该内容的学习，帮助学生建构问题研究，提升学生数学抽象、逻辑推理、数学运算等方面的素养。本课对后续学习有着奠定基调，借鉴方法的作用。二、教学目标分析（一）课程目标1.在学习数学和应用数学的过程中，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养。2.理解基本不等式概念，能用语言（日常语言、符号语言、图形语言）表述基本不等式，能用基本不等式解决某些特殊问题，提升学生数学科核心素养。（二）课时目标及目标解析【课时目标】1.通过重要不等式的语言表述，提出基本不等式，通过观察、分析、对比不等式形式，

3、构造平方模仿重要不等式证明，学生能够分析正实数的意义。2.通过观察、分析、对比重要不等式和基本不等式，学生能够说出它们的共同点和不同点，能够实现语言间的相互转化，能用基本不等解决某些特殊情况下的不等式最值问题。（三）教学重点和难点：教学重点：通过模仿用重要不等式证明过程及几何解释，学生能够正确推导基本不等式的证明并进行几何解释；通过基本不等“一正、二定、三相等”实例归纳，学生能准确判断基本不等式以及运用基本不等式解决某些特殊问题的极值。教学难点：能通过基本不等式的结构特点，能运用基本不等式解决某些特殊问题的极值。三、教学过程1.开门见山明定理：（4分钟）我们已经学过重要不等式（）,为

4、了方便同学们学习，下面将它以定理的形式给出，请你证明。定理1：如果，那么，当且仅当时，等号成立。问题一：通过不等式的基本性质的学习，要证明成立,只需证明成立？问题二：你能证明上述定理吗？试一试。2.构造长度释几何：（5分钟）合作探究：如果把实数作为线段长度，你能从下图中找到定理1的几何解释吗？剪纸拼图：图1中两个正方形面积为，能否从中剪掉，实际操作一下，从结果观察够不够剪？说说你的思路。将定理1作简单的恒等变形，就可以得到以下的基本不等式（basicinequality）。定理2：（基本不等式）如果>0,那么当且仅当时,等号成立。你能模仿重要不等式证明定理2吗？试一试3.对比分析找异

5、同：（8分钟）问题三：对比定理1和定理2，你能找到它们的异同点吗？如果都是正数，我们就称为的算术平均（arithmeticmean）,为的几何平均（geometricmean）。基本不等式可以表述为：两个正数的算术平均不小于（即大于或等于）它们的几何平均。下面我们讨论基本不等式的几何意义如图，在圆O中，线段AB为直径，点C为圆上异于点A,B外的任意一点，CD垂直AB于点D，设（1）求线段OC,CD（用表示）。导学：AB为圆O的直径，点C为圆O上异于点A,B的点，在直角三角形ABC中OC=;通过三角形相似，对应边成比例，你会用哪两个三角形相似得出CD，CD=(2)当点C移动到何处时，C

6、D取得最大值？（不需要证明，做出判断即可）基本不等式的几何意义：圆的半径不小于半弦长。4.实例分析定要素：（10分钟）过程分析：（1）矩形周长（即）为定值，求面积的最大值其实质上是求正数为何值时最大？（2）矩形面积为定值，求周长（即）的最小值其实质上是求正数为何值时最小？由于基本不等式恰好涉及两个正数的和与积之间的数量关系，可以考虑利用基本不等式进行证明。一般地，从基本不等式可以得到下面的结论：对两个正实数（一正），如果他们的和是定值（二定），则当且仅当（三相等）时，它们的积取得最大值；对两个正实数（一正），如果他们的积是定值（二定），则当且仅当（三相等）时，它们的和取得最小值；基本

7、不等式可概括为：对两个正实数，“求积”需“和定”有最大值；“求和”需“积定”有最小值。5.应用夯基提素养：（10分钟）判断下列不等式，正确的打√，错误的打×。（1）（）（2）（）（3）（）例：某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200m2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗