2.基本不等式

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1、第1章　1.3　1.4一、选择题1．设0＜a＜b，a＋b＝1，则下列不等式正确的是(　　)A．b＜2ab＜＜a2＋b2B．2ab＜b＜a2＋b2＜C．2ab＜a2＋b2＜b＜D．2ab＜a2＋b2＜＜b解析：∵0＜a＜b，且a＋b＝1，∴0＜a＜b＜1.∴a2＋b2＞2ab，b＞a2＋b2，且＞b.故2ab＜a2＋b2＜b＜.答案：C2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件(x＞0)，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)A．60件　　　　　　B．80件C．1

2、00件D．120件解析：记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)，则f(x)＝＝＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80(x＞0)时，f(x)取最小值．答案：B3．设函数f(x)＝2x＋－1(x＜0)，则f(x)(　　)A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数解析：∵x＜0，∴f(x)＝－(－2x＋)－1≤－2－1＝－2－1.当且仅当－2x＝，即x＝－时，f(x)有最大值－2－1.答案：A4．已知x＞0，y＞0，若＋＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)A．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C．(－2,4)D．(－4,2)解

3、析：∵＋≥2＝8，∴要使＋＞m2＋2m恒成立，则m2＋2m＜8.解得－4＜m＜2.答案：D二、填空题5．某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金，某顾客要购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客，然后又将5g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金__________10g．(填大小关系符号)解析：设两臂长分别为a，b，两次放入的黄金数是x，y，则ax＝5b，by＝5a，∴xy＝25.∵≥，∴x＋y≥10.又∵a≠b，∴x≠y，∴x＋y＞10.故顾客实际所得黄金大于10g.答案：＞6．若对任意x＞0，不等

4、式≤a恒成立，则a的取值范围是__________.解析：由x＞0，知原不等式等价于0＜≤＝x＋＋3恒成立，∴≤min＝5，即0＜≤5.解得a≥.答案：a≥三、解答题7．设单位圆的内接三角形的面积为，三边长分别为a，b，c，且不全相等，求证：＋＋＞＋＋.证明：∵三角形的面积S＝absinC＝，＝2，∴abc＝1.∴＋＋＝＋＋＝bc＋ac＋ab＝≥c＋a＋b＝(＋＋)＝＋＋，当且仅当a＝b＝c时，取等号．∵三边长a，b，c不全相等，∴＋＋＞＋＋.8.某地要围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个

5、宽度为2m的进出口，如上图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y表示为x的函数．(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．解：(1)如题图所示，设矩形的另一边长为am.则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.由已知xa＝360，得a＝，∴y＝225x＋－360(x＞0)．(2)∵x＞0，∴225x＋≥2＝10800.∴y＝225x＋－360≥10440，当且仅当225x＝时，等号成立．即当x＝24m时，修建围墙的总

6、费用最小，最小总费用是10440元．一、选择题1．已知下列不等式：①x＋≥2；②

7、x＋

8、≥2；③若0＜a＜1＜b，则logab＋logba≤－2；④若0＜a＜1＜b，则logab＋logba≥2.其中正确的是(　　)A．②④B．①②C．②③D．①②④解析：当x＞0时，x＋≥2，当x＜0时，x＋≤－2，故①错误．∵x与同号，∴

9、x＋

10、＝

11、x

12、＋≥2.故②正确．当0＜a＜1＜b时，logab＜0，logba＜0，∴－logab＞0，－logba＞0.∴logab＋logba＝logab＋≤－2.故③正确，④错误．答案：C2．对于x∈，不等式＋≥16恒成立，则实数p的取值范围为(　　

13、)A．(－∞，－9]B．(－9,9]C．(－∞，9]D．[9，＋∞)解析：令t＝sin2x，则cos2x＝1－t.又x∈，∴t∈(0,1)．不等式＋≥16可化为p≥(1－t)，令y＝(1－t)＝17－≤17－2＝9，当＝16t，即t＝时取等号，因此原不等式恒成立，只需p≥9.答案：D二、填空题3．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是__________.解析：∵2xy＝x·(2y)≤2，∴8＝x＋2y＋2xy≤x＋2y＋2，即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0