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1、第十章曲线积分与曲面积分(A)1.计算,其中为连接及两点的连直线段｡2.计算,其中为圆周｡3.计算,其中为曲线,,｡4.计算,其中为圆周,直线及轴在第一角限内所围成的扇形的整个边界｡5.计算,其中为内摆线,在第一象限内的一段弧｡6.计算,其中为螺线,,｡7.计算,其中为抛物线上从点到点的一段弧｡8.计算,其中是从点到点的直线段｡9.计算,其中是从点到点的一段直线｡10.计算,其中为摆线,的一拱(对应于由从0变到的一段弧):11.计算,其中是:1)抛物线上从点到点的一段弧;2)曲线,从点到的一段弧｡12.把对坐标的曲线积分化成对弧和的曲经积分,其中为:35/351)在平面内沿直线从点到;2
2、)沿抛物线从点到点;3)沿上半圆周从点到点｡13.计算其中为,,,且从大的方向为积分路径的方向｡14.确定的值,使曲线积分与积分路径无关,并求,时的积分值｡15.计算积分,其中是由抛物线和所围成区域的正向边界曲线,并验证格林公式的正确性｡16.利用曲线积分求星形线,所围成的图形的面积｡17.证明曲线积分在整个平面内与路径无关,并计算积分值｡18.利用格林公式计算曲线积分,其中为正向星形线｡19.利用格林公式,计算曲线积分,其中为三顶点分别为､和的三角形正向边界｡20.验证下列在整个平面内是某函数的全微分,并求这样的一个,｡21.计算曲面积分,其中为抛物面在平面上方的部分｡35/3522.
3、计算面面积分,其中为平面和三坐标闰面所围立体的整个表面｡24.求抛物面壳的质量,壳的度为｡25.求平面介于平面,和之间部分的重心坐标｡26.当为平面内的一个闭区域时,曲面积分与二重积分有什么关系?27.计算曲面积分其中为柱面被平面及所截的在第一卦限部分的前侧｡28.计算式中为球壳的外表面｡29.反对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积化成对面积的曲面积分,其中是平面在第一卦限的部分的上侧｡30.利用高斯公式计算曲面积:1),其中为平面,,,,,所围成的立体的表面和外侧｡2),其中为柱面与平面,所围立体的外表面｡31.计算向理穿过曲面流向指定侧的通量:1),为立体,,35/35,流向外侧;2)
4、,为椭球面,流向外侧｡32.求向理场的散度｡33.利用斯托克斯公式计算曲经积分其中为圆周,,,若从轴正向看去,这圆周取逆时针方向｡34.证明,其中为圆柱面与的交线｡35.求向量场,其中为圆周,｡36.求向量场的旋度｡37.计算,其中为用平面切立方体,,的表面所得切痕,若从轴的下向看去与逆时针方向｡(B)1.计算,其中为抛物线由到的一段｡2.计算,其中为摆线,一拱｡3.求半径为,中心角为24的均匀圆弧(线心度)的重心｡35/354.计算,其中为螺线,,｡5.计算,其中为空间曲线,,上相应于从0变到2的这段弧｡6.设螺旋线弹簧一圈的方程为,,,它的线心度为,求:1)它关于轴的转动惯量;2)它
5、的垂心｡7.设为曲线,,上相应于从0变到1的曲线弧,把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分｡8.计算,其中为圆周(按逆时针方向绕行)｡9.计算,其中为曲线,,,从到的一段｡10.计算,其中为方向为增大的方向｡11.验证曲线积分与路径无关并计算积分值｡12.证明当路径不过原点时,曲线积分与路径无并,35/35并计算积分值｡13.利用曲线积分求椭圆的面积｡14.利用格林公式计算曲线积分,其中是圆周上由点到点的一段弧｡15.利用曲线积分,求笛卡尔叶形线的面积｡16.计算曲线积分,其中圆周,的方向为逆时针方向｡17.计算曲面积分,其中为抛物面在平面上的部分｡18.计算,其中是锥面被柱面所截得的有
6、限部分｡19.求面心度为的均匀半球壳对于轴的转动惯量｡20.求均匀的曲面被曲面所割下部分的重心的坐标｡21.计算曲面积分,其中｡35/3522.计算,其中是平面,,,所围成的空间区域的整个边界边界曲面的外例｡23.计算,其中为椭球面｡24.计算,式中为圆锥面的外表面｡25.设,是两个定义在闭区域上的具有二阶连续偏导数的函数,､依次表示,沿外法线方向的方向导数｡证明:,其中是空间闭区域的整个边界曲面,这个公式叫做格林第二公式｡26.利用斯托克斯公式计算曲线积分其中是螺旋线,,,从到的一段｡27.设是有两阶连续偏导数,求证:｡(C)1.求曲线的弧长,从到｡2.计算,其中为悬链线｡3.求均匀的
7、弧,,的重心坐标｡4.计算,其中是沿35/35由点逆时针方向到的半圆周｡5.设在内有连续的导函数,求,其中是从点到点的直线段｡6.计算,沿着不与轴相交的路径｡7.已知曲线积分与路径无关,是可微函数,且,求｡8.设在平面上有构成内场,求将单位质点从点移到场力所作的功｡9.已知曲线积分,其中为逆时针方向曲线:1)当为何值时,使?2)当为何值时,使取的最大值?并求最大值｡10.计算其中为曲面的下侧｡11.计算,其中的方程为｡12.计算曲面
