专项训练：充分条件与必要条件解答题

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1、专项训练：充分条件与必要条件解答题1.(0.0分)在下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由．(1)A：

2、p

3、≥2，p∈R，B：方程x2＋px＋p＋3＝0有实根；(2)A：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，B：c2＝(a2＋b2)r2．2.(0.0分)求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件和必要条件均是m≥2．3.(0.0分)求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．4.(0.0分)设x、y∈R，求证：

4、x＋y

5、＝

6、x

7、＋

8、y

9、成立的充要条件是xy≥0

10、．5.(0.0分)已知p：0＜m＜，q：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根，证明p是q的充要条件．6.(0.0分)指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)．(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；(2)p：x＞1，q：x2＞1；(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；(4)p：

11、a·b

12、＝a·b，q：a·b＞0．7.(0.0分)是否存在实数p，使“4x＋p＜0”是“x2－x－2＞0”的充分条件？如果存在，求出p的取

13、值范围．8.(0.0分)已知二次函数y＝－x2＋mx－1和点A(3，0)，B(0，3)，求二次函数图像与线段AB有两个不同交点的充要条件．更多教学资源下载参考答案一、解答题（本大题共8小题、共0.0分．）1．略【详解】：　　答案：(1)当

14、p

15、≥2时，例如p＝3，则方程x2＋3x＋6＝0无实根，而方程x2＋px＋p＋3＝0有实根，必有p≤－2或p≥6，可推出

16、p

17、≥2，故A是B的必要不充分条件．　　(2)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即r＝，所以c2

18、＝(a2＋b2)r2；反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，则＝r成立，说明x2＋y2＝r2的圆心(0，0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，　　即圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，故A是B的充分必要条件．　　解析：A是条件，B是结论．　　若AB，则A是B的充分条件，　　若BA，则A是B的必要条件，　　借助方程和不等式及解析几何的知识来判断．2．略【详解】：　　证明：(1)充分性：因为m≥2，所以△＝m2－4≥0．所以x2＋mx＋1＝0有实根，两根设为x1、x2，由韦达定理，知x1x2＝1＞0，

19、所以x1与x2同号．又x1＋x2＝－m≤－2＜0，所以x1、x2同为负实数，即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2．　　(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根x1和x2，且x1x2＝1，所以m－2＝－(x1＋x2)－2＝－(x1＋)－2＝≥0．故m≥2，即x2＋mx＋更多教学资源下载1＝0有两负实根的必要条件是m≥2．综上，m≥2是x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件．　　解析：本题的条件是p：m≥2，结论是q：方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根，然后要明确充分性的证明是pq，必要性的

20、证明是qp．3．略【详解】：　　(1)a＝0时适合．　　(2)当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a＜0；若方程有两个负的实根，则必须满足解得0＜a≤1．　　综上所述，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根．因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1．4．略【详解】：　　证明：充分性：若xy＝0，那么，①x＝0，y≠0；②x≠0，y＝0；③x＝0，y＝0，于是

21、x＋y

22、＝

23、x

24、＋

25、y

26、．　　如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x

27、＜0，y＜0，当x＞0，y＞0时，

28、x＋y

29、＝x＋y＝

30、x

31、＋

32、y

33、；当x＜0，y＜0时，

34、x＋y

35、＝－(x＋y)＝－x＋(－y)＝

36、x

37、＋

38、y

39、．　　总之，当xy≥0时，有

40、x＋y

41、＝

42、x

43、＋

44、y

45、．　　必要性：由

46、x＋y

47、＝

48、x

49、＋

50、y

51、及x、y∈R，得(x＋y)2＝(

52、x

53、＋

54、y

55、)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋2

56、xy

57、＋y2，所以

58、xy

59、＝xy．所以xy≥0．　　解析：要证充要条件，需要证明充分性，也要证明必要性．对x、y的取值进行讨论，再综合总结．5．略【详解】：更多教学资源下载　　证明：当m＝0

60、时，方程变为－2x＋3＝0，仅有一个实根x＝．　　当m≠0时，且△＝4－12m＞0，即m＜且m≠0时，方程有两个不相等的实根，设两根为x1、x2．　　若0＜m＜时，方程有两个不相等的实数根，且x1＋x2＝＞0，x1x2＝＞0，故方程有两个同号且不相等的实数根，即0＜m＜方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实数根．　　若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实数根，则有所以