等可能概型(古典概型

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1、等可能概型(古典概型)授课教师：张俊第四节第一章概率论的基本概念§4等可能概型(古典概型)(一)定义如果试验E具有以下两个特点：则称试验E所对应的概率模型为等可能概型或古典概型。(二)计算公式1.有限性由于基本事件两两互不相容，故因此i=1,2,…,n。2.等可能性样本空间的元素只有有限个，即每一个基本事件的概率相等，即计算公式若事件A包含k个基本事件，即其中i1,i2,…,ik是1,2,…,n中某k个不同的数。则有例1将一枚硬币抛掷三次。(1)事件A1为“恰有一次出现正面”，求P(A1)；(2)事件A2为“至少有一次出现正面”，

2、求P(A2)。解：(1)考察§1的试验E2，其样本空间为S2：{HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}由硬币的对称性知E2满足等可能性，且基本事件总数n=8。而A1={HTT,THT,TTH}故A1包含的基本事件数k1=3例题1(2)法一：A2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH}A2包含的基本事件数k2=7法二：={TTT}A2的逆事件表示“一次也不出现正面”，注意：如用试验E3：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H出现的次数。其样本空间为S3：{0,1,2,3}。如由此得到P(A1)=

3、1/4是错误的，因为E3不满足等可能性。事实上，P({0})=P({3})=1/8，P({1})=P({2})=3/8。组合分析的两条基本原理成都火车2次汽车3次重庆共有2+3=5种方法1.加法原理若完成一件事有两种方式，第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有n1+n2种方法。成都重庆武汉火车汽车火车飞机轮船共有23=6种方法2.乘法原理若完成一件事有两个步骤，第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法，必须通过每一个步骤才算完成这件事，则完成这件事总共有n1n

4、2种方法。在等可能概型的计算中经常要用到的排列，组合的知识，是组合分析最基本的内容。例题2例2.一口袋装有６只球，其中4只白球，2只红球。从袋中取球两次，每次随机地取一只，考虑两种取球方式：(a)第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球。这种取球方式叫做放回抽样。(b)第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球。这种取球方式叫做不放回抽样。试分别就上面两种情况求：(1)取到的两只球都是白球的概率；(2)取到的两只球颜色相同的概率；(3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率。解：设事件A表示“取到的两只球都是白球

5、”，则A∪B表示“取到的两只球颜色相同”的事件，而B的逆事件表示“取到的两只球不都是红球”，即“取到的两只球中至少有一只是白球”，故事件B表示“取到的两只球都是红球”，事件C表示“取到的两只球中至少有一只是白球”，例题2当样本空间S的元素较多时，可不将S中的元素一一列出，只需分别求出S与A中包含的元素(即基本事件)的个数即可。从袋中依次取球两次，每一种取法为一个基本事件，不能认为哪一种取法更占优势，故满足等可能性，显然也满足有限性。(a)放回抽样从袋中有放回地取球两次，每次取一只球，按乘法原理，第一次有6只球可抽，第二次也有6只球

6、可抽，基本事件总数n=36。第一次有4只白球，２只红球可抽，第二次也有4只白球，２只红球可抽，故A包含的基本事件数kA=16，B包含的基本事件数kB=4,显然A,B互不相容,故例题2(b)不放回抽样从袋中无放回地取球两次，每次取一只球，按乘法原理，第一次有6只球可抽，第二次只有5只球可抽，基本事件总数n=65=30。第一次有4只白球可抽，抽出一只白球后，第二次只有3只白球可抽。故A包含的基本事件数kA=4×3=12同理可得B包含的基本事件数kB=2×1=2例题3例3将n只球随机地放入N(Nn)个盒子中去，试求每个盒子中至多有一

7、只球的概率(设盒子的容量不限)。解：将n只不同的球随机地放入N个不同的盒子中去，每一种放法为一个基本事件，不能认为哪一种放法更占优势，故满足等可能性。将每一只球随机地放入N个盒子中的任一个盒子，都有N种不同的放法，而将n只球随机地放入N个盒子中，按乘法原理，应该有N×N×…×N=Nn种不同的放法。若每个盒子中至多放一只球，则第一只球可放入N个盒子中，第二只球只能放入(N-1)个盒子中，…，第n只球只能放入[N-(n-1)]个盒子中，共有N(N-1)…[N-(n-1)]种放法。故所求概率组合数n202330405064100p0.4

8、110.5070.7060.8910.9700.9970.9999997与此具有相同数学模型的“生日相合”问题。n(365)个人生日各不相同的概率为：其中至少有两人生日相同的概率为：例如：特别当a为正整数，且ra时，为组合数。若a为任意实数，r