资源描述:
《等可能概型(古典概型)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四节等可能概型(古典概型)一、排列组合公式二、古典概型(等可能概型)一、排列组合公式1)加法原理:完成某件事有两类方法,第一类有n种,第二类有m种,则完成这件事共有n+m种方法。(1)有重复排列:在有放回选取中,从n个不同元素中取r个元素进行排列,称为有重复排列,其总数为nr.2)乘法原理:完成某件事有两个步骤,第一步有n种方法,第二步有m种方法,则完成这件事共有nm种方法。3)排列:(1)从n个不同元素中取r个元素组成一组,不考虑其顺序,称为组合,其总数为(2)选排列:在无放回选取中,从n个不同元素中取r个元素进行排列,称为选排列,其总数为说明:如果把n个不同元素
2、分成两组,一组r个,另一组nr个,组内元素不考虑顺序,那么不同分法有种。4)组合:(2)多组组合:把n个不同元素分成k组(1kn),使第i组有ni个元素,n1+n2+…+nk=n元,若组内元素不考虑顺序,那么不同分法共有种。(3)常用组合公式:二、古典概型(等可能概型)生活中有这样一类试验(E1,E4),它们的共同特点是:(1)样本空间的元素只有有限个;(2)每个基本事件发生的可能性相同.把这类实验称为等可能概型,考虑到它在概率论早期发展中的重要地位,又把它叫做古典概型.设S={e1,e2,…en},由古典概型的等可能性,得又由于基本事件两两互不相容;所以P({
3、e1})=P({e2})=…=P({en}).=nP({ei})若事件A包含k个基本事件,即A={e1,e2,…,ek},则有:——古典概型中事件概率的计算公式例1将一枚硬币抛掷3次.(1)设事件A1为“恰有一次出现正面”,求P(A1);(2)设事件A2为“至少有一次出现正面”,求P(A2).解:S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}.A1={HTT,THT,TTH},P(A1)=3/8,P(A2)=7/8.例2一口袋装有6只球,其中4只白球、2只红球,从袋中取球两次,每次随机取一只.考虑两种方式:(a)第一次取一只球,观察其颜色后放回
4、,搅匀后再取一球.此方式称为放回抽样.(b)第一次取一球不放回袋中,第二次从剩余的球中再取一球.此方式称为不放回抽样.分别就上面两种情况求(1)取到的两只球都是白球的概率;(2)取到的两只球颜色相同的概率;(3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率.解:(a)放回抽样情形.以A,B,C分别表示事件“取到的两只球都是白球”,“取到的两只球都是红球”,“取到的两只球中至少有一只是白球”.则“取到两只颜色相同的球”为AB,由于AB=,得P(AB)=P(A)+P(B)=5/9.练习:计算不放回抽样的情形.P(AB)=P(A)+P(B)=7/15.课堂练习1o电话号码问
5、题在7位数的电话号码中,第一位不能为0,求数字0出现3次的概率.2o骰子问题掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的概率.例3将n只球随机的放入N(Nn)个盒子中去,求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限).解:将n只球放入N个盒子中去,共有而每个盒子中至多放一只球,共有思考:指定的n个盒子中各有一球的概率.说明:本例是一种重要的古典概率模型.例如,设每个人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于1/365,则随机取n(365)个人,他们的生日各不相同的概率为于是,n个人中至少有两人生日相同的概率为经计算可得下述结果:np2023304050641000
6、.4110.5070.7060.8910.9700.9970.9999997从上表可以看出:“在一个有64人的班级里,至少有两人生日相同”的概率为99.7%.例4设有N件产品,其中有D件次品,今从中任取n件,问其中恰有k(kD)件次品的概率是多少?又在D件次品中取k件,所有可能的取法有在ND件正品中取nk件,所有可能的取法有解:在N件产品中抽取n件,取法有不放回抽样于是所求的概率为:此式即为超几何分布的概率公式.由乘法原理知:在N件产品中取n件,其中恰有k件次品的取法共有解:1)放回抽样,显然有例5袋中有a只白球,b只红球.k个人依次在袋中取一只球,求第i(i=
7、1,2,…,k)人取到白球(记为事件B)的概率(ka+b).2)不放回抽样.共有种取法,事件B发生时,第i个人取到的白球是a只白球中任一只,有a种取法.于是B包含个基本事件,所以例6在1~2000的整数中随机的取一个数,问取到的整数即不能被6整除又不能被8整除的概率是多少?解:设A为“取到的数能被6整除”,B为“取到的数能被8整除”,则所求的概率为=1P(AB)=1{P(A)+P(B)P(AB)}于是例7将15名新生随机地平均分配到三个班中,这15名新生中有3名是优秀生.问(1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?(2)3名优秀生分配