探析教学中向量相关理论的引入

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1、探析教学中向量相关理论的引入摘要：为了让向量的有关理论更加具体，使学生能够直观地理解，木文通过系统地探讨线性方程的相关问题，并将这些问题和向量的一系列定义有机的结合起来，从而揭示了向量的一系列定义在线性方程中的意义，使向量的有关理论更加具休、直观。通过这种方式的引入，学生在学习向量的有关定义定理的时候，能够对这些抽象的定义和定理有一个更加感性地认识，尤其是在学习n(n>3)维向量的时候。关键词：向量；线性方程；关系；引入中图分类号：G642.3文献标志码：A文章编号：1674-9324(2014)26-0150-04一、引言目前，高校线性代数教材，在介绍n

2、维向量空间的有关理论中，经常是先介绍怎样解线性方程组和判断一个线性方程组有没有解，接着介绍向量的线性表示、向量组的线性表示、向量组等价、向量的线性相关性，向量组的极大无关组等概念，然后利用线性方程组这个工具来分析和判断一个向量能否用另外…些向量线性表示，一组向量是否线性相关等这些概念。虽然很多学生通过学习，知道向量中的这些问题怎么解决，但是，对于向量的这些定义，仍然感觉很抽象，没有实际意义，尤其对于维数超过三维的向量，很难找到出直观的几何解释。究其原因，关键在于学生不知道为什么要定义这些东西，有什么样的作用，英实，向量空间中的很多定义就是为解决线性方程组的

3、相关问题而生。下面，木文通过论述线性方程组的相关问题，从中提出问题，进而引入解决方法一一即向量的方法，进而揭示向量的冇关定义和方程组的冇关理论之间的联系。对于向量的有关定义和方程组的有关理论之间的联系，也有人做过类似的探讨.［3］中，作者将向量和有向线段联系起来，进而揭示向量空间中相关定义的意义，但作者的这种引入局限于二维和三维的向量，对于维数超过三维的向量，无法通过有向线段来分析。［4］中，作者是根据线性方程组的向量形式谈及向量的关系，如今的线性代数教材屮多数以谈及到这个问题，而木文要论述的方程和向量的关系是另外一种关系。［5］中，作者仅探讨了向量组的关

4、系和其次线性方程组解的关系，但没有系统地探讨向量的其他关系和线性方程组的联系。二、线性方程组的线性相关性在实际应用屮，为求解某些问题，我们设定n个变量xl,x2,・・・xn,并为这些变量建立了m个等式关系,假定这些等式是如下形式的线性方程:ailxl+ai2x2+・・・+ainxn二bii=l,2,…，m为求解这些变量，我们将这些等式构建成如下的线性方程组，记为方程组A,A：allxl+a_12x2+・・・+alnxn二bl∂1a21xl+a22x2+•••+a2nxl=b2∂2amlxl+am2x2+•••+amnxn=bm

5、706;m其中的方程依次记为∂1,∂2,…∂m。那么对于方程组A,有如下问题需要考虑：1.方程组中方程和方程之间有没有关系？有什么样的关系？2.方程组冇没冇同解方程组，同解方程组和原方程组之间的方程又冇什么关系？3.方程组的解和方程组中方程的解有什么样的关系？为了便于探讨这些问题，不妨根据线性方程组的一些规律给出一些定义和命题，以便说明问题。在一个线性方程组中，经常会有一个方程可以通过另外的方程恒等变换得到，比如方程组屮一个方程等于另一个方程等式两边同乘一个常数，或一个方程等于另外某些方程相加等等。定义1：若方程组A中存

6、在某个方程∂i可以通过另外方程恒等变换得到，则称方程组A为线性相关的方程组，否则称为线性无关的方程组。显然，若方程组A屮的方程∂i可以通过方程组A屮其他的方程∂,∂,・・・∂恒等变换得到,我们可以认为方程∂i代表的等式关系相对于方程∂,∂,・・・∂来说是重复或是多余的，不防称方程∂i为方程∂,∂,・・・∂的重复方程。因此，线性相关的方程组一定有重复方程，而线性无关的方程组则无重复方程。命题1：若方程B1

7、可以通过方程组A中的方程∂1,∂2,…∂m恒等变换得到，则方程组A的解（若有解），一定是方程B1的解。证明：方程组的恒等变换一般有两种:1•方程∂等式两边同乘一个公因子k,等式保持不变，记为k∂。2•方程∂1和方程∂2等式两边对应相加等式保持不变，记为∂1+∂2。若方程01可以通过方程组A中的方程∂1,∂2,…∂m恒等变换得到，则存在一kl,k2,…km使得0l=kl∂l+k2∂2+・・・+

8、km∂mo若xl=tl,x2=t2,・・・xn二tn,