解答数列和不等式交汇问题三个策略

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1、解答数列与不等式交汇问题的三个策略廖东明基于能力立意于数列与不等式交汇处设计的综合性解答试题，将知识、能力与素质的考查融为一体，能全面检测考生的数学素养，很好地考查以思维能力为核心的多种数学能力,具有良好的区分度.因而，数列与不等式的综合性试题往往是高考的一个热点，以压轴题的角色出现也是常见的.解答此类试题，要把握以下三个基本策略.策略1数学归纳法数学归纳法是解决与正整数有关问题的通法之一，也是解决数列与不等式综合问题的方法之一.b例1(2010年湖北高考题理21题)已知函数f(x)=ax+-+c(。〉

2、0)的图象在点x(1,/(1))处的切线方程为y=x-.(1)用d表示人c；(2)若/(x)>lnx在［l,+oo)上恒成立，求d的取值范围；(3)证明：1+丄+—++—>ln(H+l)+——-——(7?>1).23n2(〃+1)点拨：(1)由0=及广(1)=1可获解；(2)构造含参数d的函数g(x)=/(x)-lnx,ci1—/j1a1a山+oo),则有g(l)=O,gf(x)=-(x-l)(x)g,于是由a>09

3、围；(3)尝试用数学归纳法证明，在利用归纳假设完成\=k到斤=比+1的递推时需要证明1£+2£+1£+211-()>ln-—对k>恒成立，于是“依形”构造函数^(x)=-(x——)-lnx2k+1k+2k+12x(%>1)，证明久兀)no在［i,+oo)上恒成立即可，这利用导数可以完成.解：(1)b-a-,c=-2a.(2)«e［—,+oo).解答从略.2(3)证明：用数学归纳法证明如下.①当川=1时，左边=1,右边=ln2+丄<1(因为24v2.7*?)，不等式成立;②假设当n=k(k>

4、)时不等式成立,即1+丄+丄++-23k11+—+kk+14L11>ln伙+1)+,则当n=k+1时，1+—+—+£+2故只需证明吨+1)+中2伙+1)23>In伙+1)+——-——+——=In伙+1)+公+2,2伙+1)k+2伙+1)£+11£+2k+1£+2鼻吨+2)+,即只需证对Rni恒成立.构造函数2伙+2)2k+k+2k+10(兀)二丄(兀一丄)一lnx(xnl),则汎1)=0,^(x)=-(--l)2>0(只在兀=1处取得2x2x等号)，所以0(兀)在［1,+00)上单调递增，所以(p(

5、x)>(p()=O,即丄u--)>lnx2x(+21£+2£+1£+2(%>1).令兀==(^>1),则丄(匕二一―二.所以当n=k+1时不等£+12k+1k+2k+X式也成立.根据①和②，可知不等式对任何nwN、都成立.点评：运用数学归纳法证明数列不等式一般要用到放缩法且放缩要适度.本例若用通常k+2k+I的放缩法是无法证明不等式In伙+1)+事In伙+2)+————.然而审视需要证明2伙+1)2仗+2)的不等式的结构特征，构造相应的函数，通过函数的单调性(利用导数)去证明又显得容易•细于审察，把握

6、特征，寻求“对症”的方法，是解答数学问题应具备的素养.策略2放缩法只要涉及不等式的证明，就会用到放缩法.放缩法也是证明数列不等式问题的一个很重要的策略.例2(2010年4月济南模拟题)设数列｛%｝、｛$｝满足：吗=4,色二专b沖=厶丄.(1)用色表示色+

7、,并证明对于任意mN+，色>2；陽+*山殂竺｝是等比数列；(3)设S”是数列｛①｝的前〃项和，当让2时，Cln-2否有确定的大小关系？若有，加以证明；若没有，请说明理由.an(2)证明：数列4S“与2(n+-)是s2点拨:(1)易知cin+ibn+i=

8、aHbn==硝=4,进而an+i=—4-一>2(色工2,否25则逆推得到$=2)而获证；(2)先计算坐空，然后对这个等式两边取自然对数去判断;色-2444=2+——=2+2(辺件232-132-132先放缩后累加再放缩，注意到要比较的项1Q1Q且当心1，2时有-1>2・4心成立就可以成功放缩而获证，利用(3)先求出通项色，然后计算S2=a^a2与2(2+—)比较大小猜测S”<2(h+—)・尽管3占+1411得到陽=2・=zl=2+〒^=2+2(),但是累加无法消去中间32-132-132-13-+1的大

9、多数项，裂项累加失败；转换角度，2(/?+-)=2«+-,联想至92(1+丄+-V+234423?心一1=2・4'=只需证明当h>3时32"“数学归纳法不难证明当«>3时32心一1>2・4心成立.或者审视要证明Sn<2(/i+-),可3以思考对色一2进行递推式放缩：当n>2时％_2=[严<丄(％_2)(仅当n=232+110时等号成立)，通过递推和累加、利用S“=S“_]+a“转换、放缩等去推证；若放缩过度，则从〃=3开始放缩色+]—2=2