数列和不等式交汇

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1、数列和不等式数列是一种特殊的函数，在众多的高考试题中数列试题题型新颖,综合性强，特别是数列与不等式的结合是近几年高考试题的热点，而涉及数列和不等式的问题往往需要综合运用函数、数列性质和不等式证明等诸多方法,从而考察学生的数学意识、数学思维。下面谈谈常涉及到的几种特殊解决方法。一、函数的性质A.函数的值域例1．已知公差大于零的等差数列的前n项和是，且满足：=117，，求（1）通项；（2）若数列是等差数列，且，求非零常数C。（3）若的前n项和为，求证解：（1）略（2）略(3),上面两式等号不可能同时取到，原命题得证。B.函数的单调性a.构造函数应用定义法例2

2、。已知数列的前n项和为，它满足（1）试求出之间的递推关系。（2）设当时，求证（3）若设当时，求证解:（1）（略解）利用-=可得数列是一等差数列。（2），（）数列是单调递增数列。令得n-1个不等式相减得：++…+==.(3)由(2)知=设,当时,设,则有-,<,<<,在上单调递增.<=，命题得证.当然证明函数的单调性亦可采用求导的方式来证明。C.函数的有界性例3．若无穷数列满足，，（1）已知数列是严格的递增数列，求首项的取值范围。（2）若无穷数列有界（即对，均有M为一正常数），求证：数列是常数列。解：(1)，将其变形为，令，否则推出，这与是严格单调递增数列

3、矛盾，数列是以为首项，以3为公比的等比数列，其通项公式为（），即（），，即（）+2，又数列是严格的递增数列，恒成立，即（）（）>0恒成立,（）（）>0对一切正自然数恒成立,即恒成立.恒成立,故所求的的范围是(2)证明:由(1)知（）+2,下面分情况讨论.a.若时.数列是严格单调递增数列,当时,,,这与矛盾.不成立.b.当时,（）（）=（）<0.即数列是单调递减数列,当时,,但,（）+2,这与矛盾,也不成立.c.当时,,满足对一切恒成立,即数列是常数列.评注：递推数列与数列的有界性、单调性是高等数学内容和初等数学相衔接的部分，也备受命题人员的青睐，因此要注

4、意培养学生运用所学知识观察问题、分析问题、解决问题的能力。二．不等式的证明方法A．基本不等式例4．已知，，…为两两各不相等的正整数.求证对任何正整数n下列不等式成立,(第20届IMO试题)证明:因为，，…为两两各不相等的正整数,所以显然有2。。。2以上各不等式两边分别相加并整理:()—（）=B.放缩法例5．已知数列满足，是的前n项和，且求（1）的通项（2）证明：（2004浙江宁波高三测试题）解：（1），，两式相减得，。。。连乘后可得：，=1，又（2）（二项式定理）（放缩法1）（放缩法2）=又<

5、根据函数单调性的定义加以证明（2）若，且，证明。解：（1）略解。（2），，且设=，，且则==无论还是，都有则即故即D．分析法例7．已知数列满足：，求证：（1），（2）证明：（1）=5>4结论成立时当且仅当时取等号.(2)由(1)知成立,故命题等证.三、数列的性质A．应用数列性质（例6）（2）解：（逆用等比数列求和公式），由均值不等式，上式成立B.极限思想例8．设（1）证明：介于之间。（2）中哪一个更接近于（3）根据以上事实，设计一种求的近似值的方案，并说明理由。解：（1）=则介于之间（2）==比更接近于。（3）依次令，则<，即故依次更接近于，且当时，无限

6、趋近于，即。评注：此题是根据教材数列章节中第一节的例3改编而来的，让学生接触“数列逼近”这个新颖题材，对培养学生的创造能力很有帮助，这种极限的思想在其他的章节中也有广泛的运用，例如球的体积和球的表面积的推导等。当然对于数列中不等式的证明也可使用数列中的数学归纳法来证明，这里就不说明了。四、二项式定理例5（2）（二项式定理）评注：一般地，当指数不等式（指数为正整数）那么一般情况都可以利用二项式定理来证明。当然对于数列和不等式还可以采用数形结合、绝对值性质等等，这里就不一一赘述。