数列与不等式的交汇题型分析及解题策略

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1、数列与不等式的交汇题型分析及解题策略耘考试要求】1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给岀数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前儿项.2.理解等差数列的概念.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。4.理解不等式的性质及其证明.5.掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的儿何平均数的定理，并会简单的应用.6.掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.7.掌握简单不等式的解法及理解不等式

2、a

3、-

4、b

5、<

6、a+b

7、<

8、a

9、+

10、b

11、.耘考点透视》1

12、.以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇.2.以解答题以中档题或压轴题的形式考杳数列与不等式的交汇，还冇可能涉及到导数、解析儿何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致,难度相对较人.3.将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及捕象数列小进行考查，主要考杳转化及方程的思想.耘典例分析】题型一求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题求得数列与不等式绫结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数f(x)在定义域为D,则当XUD时，冇f(x)NM恒成立

13、of(x)min3M；f(x)0M恒成立oRx^xSM；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得.【例1】等比数列他｝的公比q>l,第17项的平方等于第24项，求使ai+a2+...+an>++++...++恒.成立的正整数n的取值范围.dld2dn【分析】利用条件中两项间的关系，寻求数列首项如与公比q之间的关系，再利用等比数列前n项公式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数n的取值范围.【解】由题意得：(aiq,6)2=a)q2/.aiq9=l.由等比数列的性质知：数列｛£｝是以吕为首项，以占为公比的等比数列，要使不等式成立,如引q则须蔦打1)>

14、』『],把a^q-18代入上式并整理，得q』(qn—l)>q(l—步)，1_qqn>q19,Vq>l,An>19,故所求正整数斤的取值范围是n>20.【点评】本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主耍体现为用数列知识化简,用不等式知识求得最示的结果.本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用.【例2](08•全国II)设数列他｝的前〃项和为Sn.已知ai=a,an+i=Sn+3n,nWN*.(I)设bn=Sn-3n,求数列｛bj的通项公式；(II)若an+I>an,nEN*,求a的取值范围.【分析】第(I)小题利用Sn与a.的关系可求得数列的通项公式；笫(II)小题将条件a„+

15、iNan转化为关于n与a的关系，再利用a

16、)n_2+a-3],3」3当心2吋，an+I>an,即2

17、n_2-[12-(2)n_+a~3]>0,12逅)心+&—3丑)，Aa>-9,综上，所求的a的取值范围是[—9,+oo]・【点评】一般地，如果求条件与前门项和相关的数列的通项公式，则可考虑9与如的关系求解.本题求参数取值范围的方法也一种常用的方法，应当引起重视.题型二数列参与的不等式的证明问题此类不等式的证明常川的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根木的方法:(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.【例3】已知数列｛aj是等差数列,其前川项和为Sn,a3=7,S4=24.(1)

18、求数列何｝的通项公式；(11)设八q都是正整数，且p削，证明：SrV^Wp+Szq).【分析】根据条件首先利用等差数列的通项公式及前n项公式和建立方程组即可解决第(I)小题；第(II)小题利用差值比较法就可顺利解决.【解】(I)设等差数列｛时的公差是d,依题意得，｛:需翼24'解得｛d=2f•I数列｛aj的通项公式为an=ai+(n—l)d=2n+l.(II)证明：Van=2n+1,・・.Sn=M%Ja』=n2+2n.2Sp+q—0