数列与函数、不等式的交汇

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1、数列与函数、不等式的交汇　　数列中的综合问题，大多与函数交汇，考查利用函数与方程的思想及分类讨论思想解决数列中的问题，有时用不等式的方法研究数列的性质.　　求解这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确转化.对于函数的有关性质，主要利用函数的单调性或有界性来求解数列中的最值.但由于数列的通项是一类特殊的函数，所以借助函数的性质研究数列问题，一定要注意数列中的自变量只能取正整数这一特点.　　例1（2015年高考安徽，理18）设n∈N*，xn是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标.　　（1）求数列{xn}的通项公式；　　（2）记Tn=x21x

2、23…x22n-1，证明Tn≥14n.　　分析：（1）对题中所给曲线的解析式进行求导，得出曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线斜率为2n+2.从而可以写出切线方程为y-2=（2n+2）（x-1）.令y=0.解得切线与x轴交点的横坐标xn=1-1n+1=nn+1.　　（2）要证Tn≥14n，需考虑通项x22n-1，通过适当放缩能够使得每项相消即可证明.思路如下：先表示出Tn=x21x23…x22n-1=（12）2（34）2…（2n-12n）2，求出初始条件当n=1时，T1=14.当n≥2时，单独考虑x22n-1，并放缩得x22n-1=（2n-12n）2=（2n-1）2（2n

3、）2>（2n-1）2-1（2n）2=4n2-4n（2n）2=n-1n，所以　　Tn=（12）2×12×23×…×n-1n=14n，综上可得对任意的n∈4N*，均有Tn≥14n.　　解：（1）解：y′=（x2n+2+1）′=（2n+2）x2n+1，曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线斜率为2n+2.　　从而切线方程为y-2=（2n+2）（x-1）.令y=0，解得切线与x轴交点的横坐标xn=1-1n+1=nn+1.　　（2）证：由题设和（1）中的计算结果知Tn=x21x23…x22n-1=（12）2（34）2…（2n-12n）2.　　当n=1时，T1=14.　　当n≥2时，因

4、为x22n-1=（2n-12n）2=（2n-1）2（2n）2>（2n-1）2-1（2n）2=4n2-4n（2n）2=n-1n，　　所以Tn>（12）2×12×23×…×n-1n=14n.　　综上可得对任意的n∈N*，均有Tn≥14n.　　评注：数列是特殊的函数，不等式是深刻认识函数与数列的重要工具，三者的综合是近几年高考命题的新热点，且数列的重心已经偏移到不等式的证明与求解中，而不再是以前的递推求通项.对于数列问题中求和类（或求积类）不等式证明，如果是通过放缩的方法进行证明的，一般有两种类型：一种是能够直接求和（或求积），再放缩；一种是不能直接求和（或求积），需要放缩后才能求和（

5、或求积），求和（或求积）后再进行放缩.在后一种类型中，一定要注意放缩的尺度，二是要注意从哪一项开始放缩.　　例2（2015年高考陕西，理21）设fn（x）是等比数列1，x，x2，…，xn的各项和，其中x>0，n∈N，n≥2.4　　（1）证明：函数Fn（x）=fn（x）-2在（12，1）内有且仅有一个零点（记为xn），且xn=12+12xn+1n；　　（2）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn（x），比较fn（x）与gn（x）的大小，并加以证明.　　分析：（1）先利用零点定理可证Fn（x）在（12，1）内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证

6、Fn（x）在（12，1）内有且仅有一个零点，进而利用xn是Fn（x）的零点可证xn=12+12xn+1n；（2）先设h（x）=fn（x）-gn（x），再对x的取值范围进行讨论来判断h（x）与0的大小，进而可得fn（x）和gn（x）的大小.　　解析：（1）Fn（x）=fn（x）-2=1+x+x2+…+xn-2，则Fn（1）=n-1>0，　　Fn（12）=1+12+（12）2+…+（12）n-2=1-（12）n+11-12-2=-12n<0，　　所以Fn（x）在（12，1）内至少存在一个零点xn.　　又F′n（x）=1+2x+…+nxn-1>0，故在（12，1）内单调递增，所以Fn（

7、x）在（12，1）内有且仅有一个零点xn.　　因为xn是Fn（x）的零点，所以Fn（xn）=0，即1-xn+1n1-xn-2=0，故xn=12+12xn+1n.　　（2）解法一：由题设，gn（x）=（n+1）（1+xn）2.　　设h（x）=fn（x）-gn（x）=1+x+x2+…+xn-（n+1）（1+xn）2，x>0，　　当x=1时，fn（x）=gn（x）；　　当x≠1时，h′（x）=1+2x+…+nxn-1-n（n+1）xn-12，　　若0xn-1+2xn-1+…+nxn-1