高一暑假辅导数列与函数不等式交汇.doc

《高一暑假辅导数列与函数不等式交汇.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、高一暑假辅导——数列与函数、不等式交汇一、典型例题知识点1数列的通项公式及求和公式与它们的函数特性例1、已知函数f(x)=a·bx的图像过点A(1，)和B(2，).(1)求函数f(x)的解析式；(2)记an=log2f(n)，n是正整数，Sn是数列{an}的前n项和，求S30.答案：（1）f(x)=；（2）780【解析】由题意得ab=且ab2=a=，b=4f(x)=.an=log2f(n)=log2f(n)=log2=2n-5(n∈N*)，∵an+1-an=2(n∈N*)，故{an}是公差为2的等差数列，且a1=-3，由Sn=n(a1+an)S30=×3

2、0×(-3+2×30-5)=780.知识点2数列的单调性、周期性例3、已知实数列{an}满足a0=a,a为实数,(n∈N)求。答案：【解析】原来的解法：,∴…于是对于任意正整数k有(r=0,1,2,3,4,5,)2000=6×333+2∴上述所给出的答案计算量明显较大，感觉机械操作过程颇多，主要是因为没有充分利用函数的思想和方法来解决问题。看如下有两种方法：㈠如果将上面的替换为，替换为得到：=同理得：所以得到：用函数的思想认识时，很显然数列{an}的周期T==6。∵2000=6×333+2∴㈡其实把递推关系(n∈N)变形令=则=原递推关系为=此式与十分相似

3、，因此可把它认为是原递推关系的原型==，，所以我们很快可以判断出数列的周期是6，只要再证明（由=与得）因此得数列的周期是6。=。这样利用函数的方法来解决问题，找到了这个数列最重要的性质即周期性，大大减小了运算量减化了过程，但增加了思维活动，体现基本的数学思想和方法。二、综合应用例4、已知是整数组成的数列，，且点在函数的图像上：（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求证：答案：（1）；（2）证明略【解析】（1）由已知得：，所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列；即（2）由（1）知所以：例5、已知二次函数f(x)＝3x2－2x，数列{an}的前n项和为S

4、n，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图像上.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m；答案：（1）an＝6n－5（n∈N*）；（2）最小正整数m为10.【解析】（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则f`(x)＝2ax＋b，由于f`(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x.，又因为点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图像上，所以Sn＝3n2－2n，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－[3(n－

5、1)2－2(n－1)]＝6n－5，当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（n∈N*）.（Ⅱ）由（Ⅰ）得知bn＝＝＝(－)，故Tn＝bi＝[(1－)＋(–)＋…＋(－)]＝(1–），因此，要使(1－）＜（n∈N*）成立的m，必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.例6、数列(1)求并求数列的通项公式；(2)设证明：当答案：（1）（2）证明略【解析】(Ⅰ)因为所以一般地，当时，＝，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为(Ⅱ)由(Ⅰ

6、)知，①②①-②得，所以要证明当时，成立，只需证明当时，成立.证法一(1)当n=6时，成立.(2)假设当时不等式成立，即则当n=k+1时，由(1)、(2)所述，当n≥6时，.即当n≥6时，证法二令，则所以当时，.因此当时，于是当时，综上所述，当时，例7、已知数列的首项，，．（1）求的通项公式；（2）证明：对任意的，，；（3）证明：．答案：（1）；（2）证明略；（3）证明略【解析】解法一：（Ⅰ），，，又，是以为首项，为公比的等比数列．，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，原不等式成立．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有．取，则．原不等式成立．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设，

7、则，当时，；当时，，当时，取得最大值．原不等式成立．（Ⅲ）同解法一．一、试题精选1．设f（x）是定义在R上恒不为零的函数，对任意x，y∈R，都有学科网成立，若，(n为正整数)，则数列的前n项和的取值范围是（）学科网A．B．C．D．2．对于一切实数，令为不大于的最大整数，则函数称为高斯函数或取整函数，若为数列的前n项和，则=_______;3．设数列的通项已知对任意都有则实数的取值范围是（二次函数单调区间）(C)4．已知等差数列｛｝的前n项和为，若且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则等于AA．100B．101C．200D．2015.方程的根为的不动点，

8、若方程有唯一的不动点，且则2002解，由得有唯一不动点，即6.已知