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《有限维与无限维线性空间某些性质的差别》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、’年第期舟山师专学报自然科学版有限维与无限维线性空间‘某些性质的差别何日挺」几航平本文说明有限维线性空间中有些性质在无限维线性空间中是不成立的,如在教学中注,。意这些问题是很有益处的本文符号采用,,,性质设是的真子空间在有限维线性空间中显然的维数不能等于的维数即维护维。但在无限维线性空间中却有这桔况存在例设是数域一上无限维线性空间。【的真子空间,·尸卜刁构几。其一卜任卜,任这叭有维维!,,,性质在有限维线性空问中设是的两个真子空间有结论的充分必要条
2、件是鱿维维维代仍,,,维,但在无限维线性空间中却有情形维维,有叭门代务,‘,例】的真、空!丫凡·丫。凡二,侧“,。,月于是维维维但鱿砚护·卜面着垂说明卜,有限维线性空间了’,性质设是维线性空间是中不线性变换则卜列命题等价是可逆变换,‘《若日则‘,’盔即的核一一个零向夕成’维维,·,·,,,,·,以,。若二…是的任怠个华则
3、吸……是的个从证明采川循环证法如卜‘‘,‘人二,”’二,’”,一二为逆所以存在使得若二则,。从一日任一,,,,幼’改写成由可得’若则所以‘‘,一’’井为所以维二一,一。因为维维’卜所以维二一维’劝,,,,,一,二,,,二若口……“是的个基则以“……因为,,,,。二所以“……“是的一个琴
4、一,,,,,,,,,,,。设……是的一个基由知……“是一,,,,,··,的个纂故从而对母一个可山…唯一线性表示即刀一八凭艺口,·,,定义的变换刀一易证是的换任取,久于是艺缴胶外护声声户口。一,,,,,。艺艺护,尸,,,,,一‘,。艺艺,二,,。,,。天为是有限维线性空丫奸以,月丁逆所以对无限维线性空间此结论不成立,’,‘,,,”。例是无限维线
5、七仁空阳设一「‘’‘,在定义两个线性变换一“,二,’‘’厂十,’,,‘。,x.x’”’xu+ax=+a+(…).’Jx易失l一AB都是R[]的线性变换.,.·。,,,”‘‘,,,”xx一ax+u,x’+‘Ix’=a+a,x+aZx’+ax=x(^B)/()=^(B())^f(…+)…+/()天Itxx,=E.I为/()足R【l的子〔意元素)研f以AB.,‘,,.,一石i(B^)xx一a.+aZx+二‘I,x’‘一’=a:x+aZx’+二,x’‘我,沪o/()=B(^)n十斗ufll()()当寸,。x#x笋(BA)()()E
6、ff故AB,,,‘,,,同时在有限维线性空l’小}以}几六个等价命题}只要知进其中的一个就可推出另一,,,,:由(I)1外个(4)(5)等价丁得到推论有限维线性空间的线性变换A是单射的充分必要条们为A是V(l肠街射。,.x在l:I(l]的例户朴我们也石到A是Flx]到日x]的满射变换但不是单g寸B是Fll的单射变换,但不足满射变换,囚此在无限维线性空间中就得不出上而的结论。v足n维线性空问,几,,。性质4设则对JV的爪〔怠两个线性变换ABAB一BA护E证明:山V的线性变换和n阶知I炸的关系,如果有AB一BA=E,则必有数域「1二的n阶,n。。二矩阵AB使得AB一BAl(I是阶单位阵)但这
7、是不可能的.考虑AB一BA的土对角线上元素之和,记A=(“。=,)B(b)‘·,,,,。“。一)=艺艺a。一aj·0,,所以对J任意阶矩阵艺(艺.气艺气aji气艺艺气i=11二!,=I护二.1二11二!,=!,。,n_,。二。ABAB一BA月所以不存在维线性空间L的线性变换AB使得AB一BAE.但对于无限维线性空间来说就有这样情形...一x,,义,任B例4令Flxlt.的线性变换Af(x)二厂(x)厂(x)下广卜)厂(x)月1则A,
