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1、有限维线性空间上线性变换的值域与核数学系04数本410401142郭文静摘要：定义在有限维空间V上的线性变换的值域与核都是V的子空间。本文主要讨论了这两个子空间与大空间的关系。本文还进一步讨论了幂等变换的值域与核的有关性质。简明介绍了用线性变换的值域与核来刻划可逆变换.关键词：值域、核、直和、幂等变换。正文：定义1：设是线性空间V上的一个线性变换，的全体象的集合称为的值域,用或表示，所有被变成零的向量的集合称为核，用或表示。且记为：.不难证明，与都是的不变子空间。一:线性空间与的关系结论1:的秩＋的零度＝.证明见 《高等代数》北京大学数学系几何与
2、代数教研代数小组编。应当指出，虽然子空间与的维数之和为，但是，不一定是整个子空间，那么当满足什么条件时？若成立，必须满足什么条件呢？结论2就回答了这个问题.结论2:为维线性空间V上的线性变换，则 秩秩证明：设是V的一组基，而这里为的一组基.于是，已知 秩秩 则 则 为的基。 则且从而即故即为直和.又因为所以；设，任取，而于是，故显然，所以，得，秩秩.特别的，如果，那么结论3:数域P上的维线性空间V的任一子空间W必为某一线性变换的核。证明：设V的任一子空间W的一组基为则它可扩充为V的一组基.作线性变换下面验证，则否则 故又故与矛盾结论4
3、:设是维线性空间V的两个子空间,且其维数之和为,则存在V线性变换,使证明:设则在中任取一组基再在中取一组基并将其扩充为V的基用表示以下条件所确定的线性变换:首先,显然=其次,由于是的基,,另一方面,设,则由由线性无关，得知，故注：对于非线性空间V的线性变换，有子空间与，反过来，若有两个子空间与，有，与能否成为某个线性变换的值域与核，本例题就回答了这个问题.且易验证，秩秩，故.结论5:设A是维线性空间V的一个线性变换，证明：若的维数为，则必有一个维的子空间W，使证明：因的维数为，故可设为的一组基，于是存在显然，是线性无关，令则W是V的一个维子空间.
4、下证，设，即因无关，故因，得因此.注：虽有，但未必有，本例提出却有与维数相同的子空间W，使用使成立。此结论是显然的。由《高等代数》北大数学系几何与代数教研室代数小组编第2版第268页定理10，U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W使。本题也可设的一组基，将其扩充为V的一组基,.那么满足题目要求.下面是一道非常有趣的例题:例题1:设维线性空间V有两个子空间,便得,其中则存在,使得且.证明:(1)时是显然的(2)设为的基,将其扩充为的基.分别为和由维数公式知线性无关.故可扩充为V的基从而,作则就是所求.此类题目是根据要求构造维线性空间V
5、的线性变换这类题目难度也较大.二:下面是关于线性变换的值域与核的维数的两个结论：结论1：设线性空间的线性映射，W是的子空间，且则是V的子空间，且。结论2：W是有限维线空间V的子空间，是V上的线性变换，则（1）（2）其中。证明:(1)可证明设的基为将其扩充为W的基设则故为的基容易知故可得(2)设由的定义知，，设为的基，将其扩充为的一组基：由的定义知………………….故则必线性无关.因为设则从而由线性无关得；另外断定.首先,(由义)又故另则故.从而,从而得到,又因为故,又因为这样得；综上得也即证明了结论1中有条件限制,所以由(*)可得到用同样的方法可证
6、明结论1.这样就给出了结论2中的等式成立的一个充分条件.注:结论2可证明关于两个阶方阵的不等式:证明:设阶方阵为维线性空间上的两个线性变换在一组基下的矩阵.令,于是由结论2知三:下面是幂等变换的值域与核的一些结论结论1：若则（1）（2）（3）证明略应用此结论来解下面的例题：例题2:设，是V上的线性变换且适合条件：，求证：，并求及，又若是的基，是的基，求在基下的的矩阵。证明：，，由而故而故而.结论2:设V是域P上的维线性空间，与是V的两个子空间，若，证明存在唯一的V上的幂等线性变换，使得：，，即证明：例2中的线性变换就的要求的线性变换。，，已证，且
7、，下面只要证明唯一性若还存在幂等变换，使得，可以证明故有……………………………….(1)又因于是故……………………………(2)由(1)(2)知因此上述的幂等变换是唯一的.结论3:设是数域P上的线性变换,且,则(1)(2)(3)(4)若则且(5)则证明：（1）()设则又即()则（2）().同理可证.()故同理可证.（3）()即由的任意性.同理可得.()故同理可得.（4）故又,（5）1)反之有,因为故于是=得所以.下证则且故因故所以因此.2)则故反之,,………………………..（*）又代入（*）得，故.例题3：设是线性空间V的线性变换.满足(1),(2
8、)则证明:令则有因而于是故V=设=0,=从而也即0元素分解唯一,因而.若特别的则四:下面讲一些线性变换的值域与核的包含关系结论1：设是数
