§6线性变换的值域与核

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1、§6线性变换的值域与核一、值域与核的概念二、值域与核的有关性质一、值域与核的概念定义1：设是线性空间V的一个线性变换，集合称为线性变换　的值域，也记作　　　或集合称为线性变换　的核，也记作注：皆为V的子空间.事实上，　且对有即对于V的加法与数量乘法封闭.为V的子空间.再看首先，又对　有从而即故为V的子空间.对于V的加法与数量乘法封闭.定义2：线性变换　的值域　　的维数称为的秩；的核的维数称为的零度.例1、在线性空间中，令则所以D的秩为n－1，D的零度为1.1.(定理10)设　是n维线性空间V的线性变换，是V的一组基，　在这组基下的矩

2、阵是A，则1）的值域是由基象组生成的子空间，即2）的秩＝A的秩.二、有关性质即又对证：1）设于是有因此，的秩，又∴秩＝秩等于矩阵A的秩.2）由1），的秩等于基象组由第六章§5的结论3知，　　的秩2.设　为n维线性空间V的线性变换，则的秩＋　的零度＝n即证明：设的零度等于r，在核中取一组基并把它扩充为V的一组基：生成的.由定理10，　　是由基象组但设则有下证为的一组基，即证它们即可被线性表出.线性无关.设于是有由于为V的基.的秩＝n－r.因此，的秩＋的零度＝n.故线性无关，即它为　　的一组基.虽然　　与　　的维数之和等于n，但是未必等

3、于V.如在例1中,注意：ⅰ)是满射证明：ⅰ)显然.ⅱ)因为若为单射，则3.设　为n维线性空间V的线性变换，则ⅱ)是单射反之，若　任取　若则即故　是单射.从而是单射　是满射.证明：　是单射4.设为n维线性空间V的线性变换，则是满射.例2、设A是一个n阶方阵，　证明：A相似于证：设A是n维线性空间V的一个线性变换在一组基下的矩阵，即一个对角矩阵由　知任取　设则故有　当且仅当因此有又所以有从而　　　　　　是直和.在中取一组基：则　就是V的一组基.显然有，在中取一组基：用矩阵表示即所以，A相似于矩阵线性变换　在此基下的矩阵为1)求及2)在中

4、选一组基，把它扩充为V的一组基，并求在这组基下的矩阵.并求在这组基下的矩阵.3)在中选一组基，把它扩充为V的一组基，例3、设　　　　　是线性空间V的一组基，已知解：1）先求　设它在下的坐标为故由于有在　下的坐标为解此齐次线性方程组，得它的一个基础解系：从而是的一组基.由于的零度为2，所以的秩为2，又由矩阵A，有即为2维的.再求2）因为从而有所以，　　　　　线性无关，就是　　的一组基.而可逆.从而，线性无关，即为V的一组基.在基下的矩阵为3）因为可逆.而从而线性无关，即为V的一组基.在这组基下的矩阵为作业P32616