线性变换的值域与核.doc

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1、§6线性变换的值域与核一、定义设A是线性空间的一个线性变换，A的全体像组成的集合称为A的值域，用A表示.所有被A变成零向量的向量组成的集合称为A的核，用A表示.若用集合的记号则A=,A=这里用表示A，公式里打不出来.1．线性变换的值域与核都是的子空间.2．A的维数称为A的秩，A的维数称为A的零度.二、如何求值域、核1．如何求线性变换的值域？定理10设A是维线性空间的线性变换，是的一组基，在这组基下A的矩阵是，则1）A的值域A是由基像组生成的子空间，即A=2）A的秩=的秩.定理10说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持不变.A=，实质上是求它的一个线性极大无关组，即求矩阵的列向量组的一个极大线性无

2、关组例1在线性空间中，令D则D的值域就是.例2．令，定义变换，对于，，（1）证明是线性变换（2）求的秩证明：（1）对于任取，我们有，从而是一个线性变换（2）显然是的一组基。，，从而的像空间由生成，再证它们线性无关，得到的秩是2，2．如何求线性变换的核对于，是的一组基，在这组基下A的矩阵是，则，，我们得到]。从而，即的坐标满足这个齐次线性方程组；反之亦然当且仅当的坐标满足在例1中，D的核就是子空间.在例2中,求的核对于,我们有.因为从而有得到即:,我们找到的一组基:,三、定理设A是维线性空间的线性变换，则A的一组基的原像及A的一组基合起来就是的一组基.由此还有A的秩+A的零度=1．推论对于有限维

3、线性空间的线性变换，它是单射的充要条件是它是满射.例：注意在上述推论中，要求是有限维线性空间，对于无限维线性空间，推论不一定成立，在线性空间中，令D则D是满射，但不是单射.2．虽然子空间A与A的维数之和为，但是A+A并不一定是整个空间.见例1例3设是一个矩阵，，证明相似于一个对角矩阵证法1：设是维线性空间,是的一组基，在这组基下矩阵对应着线性变换，即:=,我们有(1)任取,我们有,即:(2),从而(3)在中选取一组基,在中选取一组基,则线性变换在该基下的矩阵就是,从而相似于它.证法2:对于没有学过高等代数知识,只学过线性代数可以这样做(1),我们得到的特征值是0和1(2)下面证明有个线性无关的

4、特征向量,(i)矩阵属于特征值0的特征向量是的非零解,即的非零解.它的基础解系含个解向量,也就是属于特征值0的线性无关的特征向量有个.(ii)矩阵属于特征值1的特征向量是的非零解,它的基础解系含个解向量,也就是属于特征值1的线性无关的特征向量有个两者合起来,矩阵有线性无关的特征向量个,所以我们只须证明(4)证明见第四章17,18(i),我们得到,从而(ii)例4：设是一个矩阵，，证明相似于一个对角矩阵