3.3 紧集与有限维赋范线性空间

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1、3.3紧集与有限维赋范线性空间3.3.1致密集的概念实数直线上的Bolzano-Weierstrass致密性定理(compactnesstheorem)：任一有界数列必有收敛子列。定义3.3.1设是度量空间，.若在中的任何点列必有在中收敛的子点列，则称是(中的)致密集。若自身是致密集，则称是致密空间。性质1有限点集是致密集。注点集和点列不一样，点列是取点集中的元素构成的，其各项可以重复，但点集中的元素却不能一样。因此，由于有限点集中的元素有限，所以要想构成点列，必然有同一个元素无数次重复，这样，这些重

2、复的元素构成的子点列必然收敛。性质2有限个致密集的并是致密集。证设是度量空间的致密集，往证也是的致密集。任取一点列，则存在，有无限多项属于，记其为，即.而是致密的，所以必有在中收敛的子点列，使得,即在中收敛的子点列，故也是的致密集。证毕！性质3致密集的任何子集是致密集。因此，任何一族致密集的交是致密集。证只要证明“致密集的任何子集是致密集”即可，而“任何一族致密集的交是致密集”则是前者的直接推论。设是度量空间的致密集，是的任一子集。任取一点列，因为，所以.而是致密的，因此点列必有在中收敛的子点列，使得

3、8,故也是致密的。证毕！性质4致密集的闭包是致密集。证设是度量空间，是致密集，往证的闭包也是致密集。任取一点列，则对每个，存在（进而得一点列），使得.因为是致密的，所以点列必有在中收敛的子点列，使得,即.于是由三点不等式得即：点列必有在中收敛的子点列，使得.由定义3.3.1知：的闭包也是致密集。证毕！性质5致密集中的基本点列必然收敛。因此，致密的度量空间是完备的。证设是度量空间，是致密集。若是中的基本点列，则由的致密性得：点列必有在中收敛的子点列，使得.于是.证毕！3.3.2紧集定义3.3.2(紧集)

4、称度量空间中的致密闭集为紧集(CompactSet)。8注显然，是紧集的充要条件是：中任一点列必有收敛的子点列收敛于中的一点。对于全空间来说，致密的概念和紧集的概念没有区别，致密的度量空间又称为紧（度量）空间。性质度量空间中的紧集看成的子空间时是完备的。定理3.3.1（Gross）设是度量空间中的紧集，是中的一族开集。若覆盖：,则必有中的有限个开集覆盖：.注这个定理也称为有限覆盖定理，它的逆命题也成立。定理3.3.2设是度量空间中的点集，若中每个覆盖的开集族中必有有限个开集覆盖，则是紧集。证（自证！）

5、根据定理3.3.1和定理3.3.2，我们可以给出度量空间中紧集的另一个定义：定义3.3.3(紧集)设是度量空间中的子集，若中每个覆盖的开集族中必有有限个开集覆盖，则称是紧集。3.3.3紧集上的连续映射我们现在把闭区间上的连续函数的基本性质拓广到度量空间的紧集上。定理3.3.3设是度量空间中的紧集，是上的连续映射，则的象也是紧集。证（自证！）推论1度量空间上的连续映射必然把致密集映射成致密集。推论2度量空间中的紧集上的连续函数必然有界，而且上、下确界可以达到。推论3紧集上的一对一的连续映射必是同胚映射。

6、8证设是紧集到上的一对一的连续映射，往证逆映射也是连续的。Infact,只要证明的逆映射将的任意闭子集映射成闭集即可。因为是紧集，所以的闭子集也是紧集。因此也是紧集。和一样都是连续映射，故是拓扑映射。证毕！3.3.4有限维赋范线性空间有限维赋范线性空间又称为Minkowski空间。定理3.3.4设是维赋范线性空间，是的一个基，则必存在正数，使得对于，有，(3.3.1)并且映射(3.3.2)是维欧几里得空间到的同胚映射。证因为，所以.(3.3.3)取，则，且.另一方面，作中的单位球面：，考察上的函数.显

7、然在上处处大于零。现在证明在上的下确界8.因为是中的有界闭集，所以是紧集。由定理3.3.3的推论2知：只要证明是连续的，则在上的下确界是在上某点的函数值，这样就能得到.由(3.3.3)得：，因此是上的连续函数；由于上没有零向量，根据范数的唯一性条件得.对于中的非零向量，作,则，因此，即，于是(3.3.1)得证！由(3.3.1)得：，且，(3.3.4)故都是连续的映射。又显然是到上的一一对应，因此是8维欧几里得空间到的拓扑映射。证毕！推论1设在有限维线性空间上定义了两个范数和，则必存在常数和，使得对，都

8、有.为了说明定理3.3.4的结论，我们对一般的线性空间(不一定是有限维的)引入如下概念：定义3.3.4设是一个线性空间，是定义在上的两个范数。若存在正数，使得对一切，都有,(3.3.5)则称范数和是等价的。注设在线性空间上有两个范数，按这两个范数成为赋范线性空间，记为和.则范数和等价的充要条件是在和中点列收敛的概念是一致的，即：与是等价的。因此，当范数和等价时，赋范线性空间和是同胚的。定理3.3.4的推论1说明：在有限维线性空间上，任何两个范数都是等价的