第二讲 列紧性、常用线性赋范空间

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1、3列紧性ò紧度量空间中的子集称为紧的，是指的任意开覆盖都有有限的子覆盖。若度量空间紧，则称度量空间是紧空间。度量空间中的子集称为列紧的，是指的任意序列都有子列在中收敛；度量空间中的子集称为自列紧的，是指的任意序列都有子列在中收敛。若度量空间列紧，则称度量空间是列紧空间。对于全空间来说，列紧和自列紧是一样的。命题1中的有界集是列紧集，中的有界闭集是自列紧集。命题2列紧空间的子集是列紧的；列紧空间的闭子集是自列紧的。命题3列紧空间是完备的。证明若Cauchy列有收敛子列，则它自身收敛。‐网，有穷‐网，完全有界，可分定理1（Hausdorff）度量空间的子集列紧，则完

2、全有界；完备度量空间的子集完全有界，则列紧。证明（1）反证，若不完全有界，则存在，使得无有限‐网。从而，则无收敛子列。(2)任取中序列，对的1‐网，及的子列；对的1/2‐网，及的子列；，对的1/k‐网，及的子列；，则对角线子列是Cauchy列，由完备知收敛。命题4完全有界的度量空间可分的。证明记是的‐网，则就是可数稠子集。推论列紧度量空间可分。定理2度量空间的子集是紧的充要条件是自列紧。证明（a）闭。，，所以存在使得，令，则，从而开，所以闭。（b）若无收敛子列，则闭，所以闭，由知有，即矛盾。，设是一个开覆盖，它不能选出有限子覆盖。由完全有界知有‐网，且至少有一个

3、不被有限个覆盖，由自列紧知有子列收敛于，从而充分大之后，矛盾。推论度量空间是紧的充要条件是列紧ò中列紧的刻画紧度量空间，，特例有界，命题5是完备度量空间。一致有界，等度连续定理3（Arezla‐Ascoli）列紧的充要条件是一致有界且等度连续。证明，列紧完全有界有界、等度连续。，由完备，只须证完全有界，为此要构造的有穷‐网。利用的紧性将中的元采样投射到中，利用中有界集的列紧性即可。例有界开凸集，表示上一阶连续可微函数全体，对任意，令则构成完备度量空间，且，把中的有界集映成的紧集,即是紧嵌入。Problem研究的不动点特性。ExeP192，5，94线性赋范空间线性

4、结构线性空间，线性子空间，极大子空间，线性流形，超平面，线性基，维数，和、直和，线性同构，商空间设是数域上的线性空间，是一个子空间，则由定义了上的一个等价关系，代表的等价类记为，所有等价类全体记为。令则按这种加法和数乘构成一个线性空间，称为与子空间的商空间。定理1任何线性空间都有基，同一线性空间的不同的基等势，两个线性空间线性同构的充要条件是它们同维数。定理2若是有限维线性空间，则的每一个真子空间的维数严格小于的维数，故真子空间不能与全空间线性同构。若是无限维线性空间，则总有的一个真子空间的维数等于的维数，故总有真子空间与全空间线性同构。定理3若是一个子空间，则

5、。定理4设为数域上的线性空间，线性映射，则是一个线性同构，且。推论线性且非零，则是的一个极大子空间，对任何，是一张超平面。拓扑结构准范数，半范数，范数，空间，Frechet空间，空间，Banach空间常用空间例1空间，例2，例3，例4有界开，，例5紧度量空间，，例6，是一个测度空间，这时范数的三角不等式就是著名的Minkowski不等式其证明要用到基本的Holder不等式，若特别的，可测，为Lebesgue侧度，记为，称之为Lebesgue空间，或大l‐p空间。，为自然的计数侧度，则记为，称之为小l‐p空间。例7，例8Sobolev空间。有界连通开区域，.令，完

6、备化后所得的空间记为，称Sobolev空间。