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1、毕业论文题目有限维线性空间的分解学院数学与统计学院姓名周吉强专业班级数学与应用数学学号20101010646指导教师邵海琴教授提交日期2014-5-28原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名：年月日论文指导教师签名：年月日目录1引言与预备知识12有限维线性空间的分解22.1按子空间的
2、直和分解22.2按生成子空间分解32.3按特征子空间分解，即按可对角化的线性变换分解42.4按根子空间分解，即准素分解62.5按循环子空间分解72.6按线性变换的标准形分解9参考文献…………….....……………….…….12有限维线性空间的分解周吉强（天水师范学院，数学与统计学院,甘肃，天水，741000）摘要总结了有限维线性空间按子空间、生成子空间、特征子空间、根子空间、循环子空间以及线性变换的Jordan标准形等分解方法，并通过具体的例子加以说明.关键词线性空间;直和分解；子空间；生成子空间；根子空间；循环子空间；线性
3、变换Decompositionoffinite-dimensionallinearspaceJiqiangZhou(SchoolofMathematicsandStatistics,TianshuiNormalUniversity,Tianshui741000)AbstractInthispaper,wesummarydecompositionmethodsoffinitedimensionalLinearspacebysubspace,generatingsubspace,propersubspace,androotspa
4、ce,-cyclicsubspaceandstandardfromoftransformation,weexplainforthesixdecompositionmethodsbyconcreteexamples.KeywordsLinearspace,straightanddecomposition,subspace,generatingsubspace,rootspace,cyclicsubspace,lineartransformation有限维线性空间的分解1引言与预备知识线性空间是线性代数中的重要知识点，线性空间也
5、是线性代数中最为抽象的概念.子空间的和，尤其是直和虽然概念抽象，证明困难，但仍然有规律可循.只要掌握了方法，便能得心应手.定义1.1设与是有限维线性空间的两个子空间，如果与的和中每个元素的分解式是惟一的，则称这个和为直和.定义1.2设是数域上的维线性空间，,为的一组基.在该基下的矩阵为，则有设是的特征值，令则是的子空间，且称其为的属于特征值的特征子空间.定义1.3设线性变换的特征多项式为，它可以分解成一次因式的乘积则可分解成不变子空间的直和，其中称为属于的根子空间.定理1.1设是有限维线性空间的两个子空间,那么下列命题等价(
6、1);(2)零向量的分解式是惟一的；(3);(4).定理1.2复数域上有限维线性空间的每一个线性变换都有标准形，并且这个标准形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外，是被线性变换唯一决定的.线性变换的标准形的求法具体如下：(1)首先用初等变换化特征矩阵为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是的全部初等因子.(2)每一个初等因子对应一个若而当块.(3)就是的标准形.2有限维线性空间的分解2.1按子空间的直和分解在判定两个子空间的和是直和是应熟练应用直
7、和的等价条件，其中最常用的是与.如果要证明线性空间可以分解成子空间的直和时，先任取,证明，,则有;再任取,证，则有.于是.例2.1.1已知的两个子空间，证明.证明对任意的，有,其中,.容易验证,所以,即有.对任意的,则,所以,故.2.2按生成子空间分解定义2.2.1设是线性空间中的一组向量，不难看出，这组向量所有的线性组合所成的集合是非空的.而且对两种运算封闭，因而是的一个子空间.这个子空间叫做由生成的子空间，记为.例2.2.1证明：数域上任意一个维线性空间可以表示成个1维子空间的直和.证明在线性空间中取一个基，则由于因此是
8、直和，于是.2.3按特征子空间分解，即按可对角化的线性变换分解如果可以写成两个非平凡子空间与的直和：,那么任选的一个基和的一个基凑成的一个基.当与都在线性变换之下不变时，关于这样选取的矩阵是，其中是一个阶矩阵，它是关于基的矩阵，是一个阶矩阵，它是关于基的矩阵.由此可知，矩阵分解为准对角形与
