有限维线性空间的基

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1、有限维线性空间的基杨忠鹏　晏瑜敏　戴培培莆田学院数学系一、数域上有限维线性空间的三要素：1．基2．维数3．坐标维数是的唯一的本质特征，在同构意义下的研究可归结为的讨论。基一般是不唯一的，在线性运算下，对具体的线性空间来说，可由一组基来把握。正如[1，P171]所说：“给定有限维的向量空间，要求其维数，首先要抓‘基’”。关于有限维空间的基与维数，综合起来有以下基本结论（见[2]，P330）。设是数域上线性空间，，则下列陈述彼此等价：（1）是的一组基；（2）线性无关，但线性相关，；（3）都可经唯一地线性表

2、示；（4），且经线性表示的表法唯一；（5），且线性无关；（6）且；（7）二、常见线性（子）空间的基与维数1．这是基本的习题内容[3，习题6]的3（有8个小题）、8（有4个小题）、13（有3个小题）、14、16、17、18题。2．常见的线性（子）空间的标准基（1）　（2）　4（3）（4）（5）三、n维线性空间的基的确定1.从一组给定的基出发，可构造出所有（无穷多）的不同的的基.，线性无关是可逆的为的基.2.指定条件下的线性空间基的确定.例1.设是数域上n维线性空间的任意s个非平凡子空间。试证：存在的一个

3、基，使这个基的n个基向量均不在中（见[2，p213],[4,p213],[5,p196]）例2（见[3，补充题4]）设是线性空间的两个非平凡子空间。证明：在中存在使同时成立。例3（见[3，补充题5]）设是线性空间的s个非平凡子空间，证明：中至少有一个向量不属于中任何一个。例4（见[6]）第八题（及解法）设为数域上n维线形空间（n≥1）.证明：必存在中一个无穷的向量序列使得中任何n个向量都是的一组基.证明：采用构造法取n维线性空间的一组基取另一向量则显然有从以上n+1向量中选出n个均可作为n维线性空间的

4、一组基.4同样，依次取向量使得这样得到一个无穷的向量序列.下证，从中任选n个，它们均线性无关从构造中易得，从而不妨任选，.令得从而,…，（*）又可以证明，对角线上的元素均不为零，从而行列式不为零也即，方程组（*）仅有平凡解，即从而它们均线性无关，故问题得证.实际上，更简单的方法来构造令4则是无关的这是因为为范德蒙行列式例5（见[7，p49]）（英文）AgainletVbethespaceofmatricesoverF.FindabasicforVsuchthatforeachi.这个结论对也是成立的.

5、为的幂等基.例6.（见[8，定理1]）具有无穷多个幂等基.例7.（见[2，p319]）设V是数域P上全体二阶对称矩阵所成的线性空间，证明：与都是V的基.问题：是否存在的由可逆的对称矩阵构造的基？若有，有多少个？在相似的条件下有多少个？参考文献[1]陈昭木、陈清华、王华雄、林亚南.高等代数（上册），福建教育出版社，1991，福州[2]庄瓦金高等代数教程，国际华文出版社2002年[3]北京大学数学系几何与高等代数教研室前代数小组编王萼芳、石生明修订，高等代数（第三版）[4]白述伟高等代数选讲，黑龙江教育出

6、版社，1996[5]李师正主编高等代数解题方法与技巧，高等教育出版社，北京2004[6]南开大学2005年硕士研究生入学考试试题[7]K.HoffmanandR.Kunze,LineasrAlgebra(SecondEdition),Prentice-Hall,Inc.,EnglewoordCliffs,NewJersery(1971),49.[8]杨忠鹏全矩阵代数上的幂等阵，安顺师专学报，1989（2），97-100.4