有限维线性空间基

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1、有限维线性空间的基杨忠鹏 晏瑜敏 戴培培莆田学院数学系1.基2.维数3.坐标一、数域上有限维线性空间的三要素:维数是的唯一的本质特征,在同构意义下的研究可归结为的讨论。基一般是不唯一的,在线性运算下,对具体的线性空间来说,可由一组基来把握。正如[1,P171]所说:“给定有限维的向量空间,要求其维数,首先要抓‘基’”。关于有限维空间的基与维数,综合起来有以下基本结论(见[2],P330):设是数域上线性空间,是的一组基;(1)但线性相关,(2)线性无关,则下列陈述彼此等价:(4),且经线性表示的表法唯一

2、;(6)且都可经唯一地线性表示;(3)(5),且线性无关;(7)二、常见线性(子)空间的基与维数1.这是基本的习题内容[3,习题6]的3(有8个小题)、8(有4个小题)、13(有3个小题)、14、16、17、18题。2.常见的线性(子)空间的标准基(1)(2)(3)(4)(5)三、n维线性空间的基的确定1.从一组给定的基出发,可构造出所有(无穷多)的不同的的基.是可逆的线性无关为的基.2.指定条件下的线性空间基的确定.例1.设是数域上n维线性空间的任意s个非平凡子空间.试证:存在的一个基,使这个基的n个

3、基向量均不在中.(见[2,p213],[4,p213],[5,p196])例2(见[3,补充题4])设是线性空间的两个非平凡子空间.证明:在中存在使同时成立.例3(见[3,补充题5])设是线性空间的s个非平凡子空间,证明:中至少有一个向量不属于中任何一个。例4(见[6])设为数域上n维线性空间(n≥1).证明:必存在中一个无穷的向量序列使得中任何n个向量都是的一组基.同样,依次取向量使得取另一向量则显然有从以上n+1向量中选出n个均可作为n维线性空间的一组基.证明:采用构造法.取n维线性空间的一组基这样

4、得到一个无穷的向量序列……,下证,从中任选n个,它们均线性无关.从而不妨任选令得从构造中易得,从而(*)又可以证明,对角线上的元素均不为零,从而行列式不为零,从而它们均线性无关,故问题得证.也即,方程组(*)仅有平凡解,即这是因为为范德蒙行列式.实际上,更简单的方法来构造,令则是无关的.例5(见[7,p49])AgainletVbethespaceofmatricesoverF.FindabasicforVsuchthatforeachi.这个结论对也是成立的.为的幂等基.例6(见[8,定理1])具有无

5、穷多个幂等基.例7(见[2,p319])设V是数域P上全体二阶对称矩阵所成的线性空间,证明:与都是V的基.问题:是否存在的由可逆的对称矩阵构造的基?若有,有多少个?在相似的条件下有多少个?参考文献[1]陈昭木、陈清华、王华雄、林亚南.高等代数(上册),福建教育出版社,1991,福州[2]庄瓦金高等代数教程,国际华文出版社2002年[3]北京大学数学系几何与高等代数教研室前代数小组编王萼芳、石生明修订,高等代数(第三版)[4]白述伟高等代数选讲,黑龙江教育出版社,1996[5]李师正主编高等代数解题方法与

6、技巧,高等教育出版社,北京,2004[6]南开大学2005年硕士研究生入学考试试题[7]K.HoffmanandR.Kunze,LineasrAlgebra(SecondEdition),Prentice-Hall,Inc.,EnglewoordCliffs,NewJersery(1971),49.[8]杨忠鹏,全矩阵代数上的幂等阵,安顺师专学报,1989(2),97-100.祝各位老师 新年快乐!

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