第九讲导数的定义,运算及运用(82用)

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1、导数定义，计算及应用一；基础知识:（1）导数的定义及定义求解步骤；函数y=fx）在尸必处的瞬时变化率是：lim如也上如=恤塹心t（）Ar心t（）我们称它为函数y=/（x）在兀=兀0出的导数，记作/（勺）或y，即广（x（））=limAxtO于（兀0+心）一/（兀0）说明：（1）导数即为函数y=f（x）在尸必处的瞬吋变化率（2）导函数:由函数/U）在尸心处求导数的过程可以看到，当时，广（兀0）是一个确定的数，那么，当X变化时，便是X的一个函数，我们叫它为f（x）的导函数.记作：广（兀）或y',即："）*=恤心+山）一/⑴心->°Ax注：

2、在不致发生混淆时，导函数也简称导数.函数.广（兀）在点X。处的导数广（勺）、导函数广（力、导数之间的区别与联系。1）函数在一点处的导数广（兀0），就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量Z比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点“而言的，就是函数f（x）的导函数3）函数.f（x）在点兀0处的导数fOo）就是导函数广（X）在x=x0处的函数值，这也是求函数在点兀。处的导数的方法之一。（2）心=兀一x（）,当T0时,兀T兀（），所以/'（x（））=lim~‘""Jsox-x0（3）导数的儿何意义；函数尸fd）

3、在尸必处的导数等于在该点（x0,/（x0））处的切线的斜率，即广（心）=恤如空上如斗0山TOAx说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：%1求出P点的坐标；%1求出函数在点兀。处的变化率fXx.）=lim/C，Y（,1Av）~-Z（ao）=k,得到曲线在点（x0,/（x0））的切线加-〉0Ax的斜率；%1利用点斜式求切线方程.（4）导数基木运算公式;函数导数y=cy=0y=f(x)=xn(neQ^y=nxn~[y=sinxy=cosxy=cosxy=-sinxy=f(x)=axy=ax-a(a>0)y=fM=exy=exf(x)

4、=ogaXfM=log“xf(x)=(a〉0且a工1)xlna/(x)=lnxX(5)导数的运算法则—导数运算法则1.[f(x)±g(x)]=f'(x)±gx)2・[/(%)•g(x)]=fx)g(x')±f(x)gx)3.「型[=八心⑴—驴)g&)(g⑴工0)M)」[g⑴]2推论：［（/（兀）］（兀）（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）—;易错点；a对于物理学中变速运动来讲，位移对时间的导数是速度，速度对时间导数是加速度b;基木函数导数公式记忆正确，尤其是指数函数，对数函数。c;导数运算法则运用准确，尤其是乘法和除

5、法，必要吋先对原函数化简。d;求切线方程注意正确步骤。三；经典例题举例与相应练习例1；用定义法求函数代沪一只+X在附兀=一1处的导数.解：型="+3+(-1+心)-2=3_心AxAxlim(3-Ax)=3山tO=3的导数.求下列函数的导数.八一1)=恤型「(T+3+(T+M—2=心toAxAx练习题；•1；质点运动规律为5=r+3,求质点在f例2・根据基木初等函数的导数公式和导数运算法则,1.求Illi线y=tx)=x在兀=1时的导数.(1)y=x3-2x+3(2)y=(2x2+3)(3x-2)(3)y=x•sin”•In%；(4)

6、(5)_1-lnx1+lnx(6)y=(2/—5x+1)e,、sinx-xcosx(7)y=:—cosx+xsinx练习；1、求y=x3+sinx的导数.2、求y=2x3-3x2+5x-4的导数.3、求下列函数的导数:(1)y=2x3+3x2—5x+4；(2)y=ax3—bx+c；(4)y=(3x2+l)(2—x)；(5)y=(l+x2)cosx；(3)y=sinx—x+1；(6)=2Acosx-31og2x4-已知函数/(x)=x2(x—1),若厂(x・o)=f(xo)，求X。的值.5.求下列函数的导数sinxsinx(2)y二1+

7、cosx(3)y=lOg?兀6求下列函数的导数(2)y=xtanx—cosx125⑴y=+—7求函数y=xsina:cosx的导数8；求函数f(x)=x(x—l)(x—2)(x—3)---(x—100)在x=0处的导数值。例3；导数儿何意义及初步应用；求曲线尸f(力二/+1在点A1,2)处的切线方程.qr■r[(1+Ax)?+1]—(1“+1).2Ax+c解：yi=1=lim-——=lim=2,山toAx心t°Ax所以，所求切线的斜率为2,因此，所求的切线方程为y-2=20-1）即2兀-y=0练习；1；已知曲线Gy=3厂一29#+4,

8、求曲线G上横坐标为1的点的切线方程;2求y=/+sinx,当x=2时切线方程。3若一物体运动方程如下：3t2+2(03)求物体在t=l或t=3时的速度。4质点、M按规律v=3+4t做直