运用导数定义巧助函数解题

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1、妙用导数定义巧解题在近几年的各类试题中导数与其他章节的联系已成为一个新的热点和考试改革的亮点。其中将导数和函数紧密相联，考查函数的某些基本性质又是其中一个重要组成部分。在对导数的考查中其重点之一就是对导数基本概念定义的考查。下面就以几例谈谈如何灵活应用导数的定义来解决函数问题。一、利用定义巧求值例1．若则的值为A．-3B。-6C。-9D。-12解：根据导数的定义可知，====4=解题回顾：本题着重考查导数的定义和变形形式，注意中的的形式变化，其实还可以写成或是，等等。另外对于一般形式，其中的m,n是常数，且是存在的，这种形式可以化简为

2、：原式==－=m－n=m－n=(m－n)例2．设，则等于A．B。C。D。解析：由导函数的定义可知，=，而=====－=－　　　因此。Ｃ。解题回顾：此题也可以直接求解，＝＝　　＝＝本题给出的解法是利用导数求解，这种方法的关键是理解导数定义，令，＝＝，于是只要求解的导数即可。一般地如果在处是可导的，那么＝，另一种形式，＝，这两种形式经常会交替使用，更有利于我们对导函数的定义的深刻理解和灵活应用。例3．设则解析一：===2004=2004！解析二：====2004=2004！一、利用定义断周期例4．试证周期函数的导数仍为周期函数。证明：设是

3、周期函数，则对于定义域内所有的X都有，==的导数也是周期函数。二、利用定义定奇偶例5．观察=，=，=是否可以判断可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。解：若为偶函数。则，令====-=-可导的偶函数的导函数是奇函数；同理，可导的奇函数的导函数是偶函数。三、利用定义判单调例6．已知在实数R上的可导函数对于任意实数都有，若存在实数a,b使且求证：（1）（2）在是单调递增函数。证明：（1）又，，即（2）==即=，=，所以在是单调递增函数。一、巧用定义证不等式证明不等式是高中数学中的一个重要内容，也是不等式中的难点，虽然

4、证明不等式有众多方法，但是仍有些问题是很棘手的，而导数的定义在不等式的证明上又开辟了一条新的途径。例7．（2003年全国高考试题江苏卷第21题）已知为正整数。（1）设证明（2）设，对于任意，证明解析：（1）（解法一）因为，==（解法二）===(2)略。解题回顾：本题解决的关键在于灵活运用导数的定义来证明不等式，但是很多学生证明不出来，主要是有两个原因（1）对不知道怎么求导数，有些即使想到了用二项式定理展开在求导，但是不知道利用公式进行变形化简。（2）对导数的定义掌握不牢固，