资源描述：
《一道解几例题的类比探究费下载》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一道解析几何例题的类比探究轩瑞升(江苏邳州市教研室221300)20050714高中数学教材(试验修订本)第二册(上)P75例2：已知圆的方程是兀2+>,2二厂2,求经过圆上一点M(xo.yo)的切线方程.该例给出了一个结论：命题1.1"过已知OO：x2+y2=r~±一点M(xo,yo)的切线方程为：x0x+y0y=r2联想圆的方程的其他形式，类比得命题1.2过已知圆A：(x-a)2+(y-Z?)2=r2±—点M(xo,yo)的切线/方程为(x0-a)(x-a)+(yQ-b)(y-b)=r2.命题1.3过已知圆A：x2+/+Dx-^Ey+F=0(£>2+E2-4F>0)上一点
2、M(xo,yo)的切线Z方程为[)E兀0兀+儿)'+空(兀+/0)+亍()'+儿)+尸=0证明1.2(x0-a)((x-a)4-(6?-x0))+(y0-Z?)((y-/?)+(&-yo))=O,22比―°)(兀—d)+bo—b)(y—〃)=(兀()—d)+bo")=『•1.3的证明只需将OA的方程化成标准式后再利用1.1的结论即可.若改述命题形式为“设点M(xo,yo)在OO：F+),2二厂2上，则总线v+yoy=r2与OO相切•”注意点M(x°,yo)与OO的位置变化，再考察直线兀。兀+y()y=『与oo的位置关系，可以得到命题1.4若点M(x0,y0)在OO：%24-y2
3、=r2的内(外)部，则直线/:x()x+y{)y=r2与OO相离(交).证明:・・•点M(x0,y0)在OO内(外),IOM
4、r),BP22%0+>0V厂2(>厂2),而圆心o到宜线/的距离d=fr->—=r(or故直线/与OO和离(交).以上证明每步可逆，故综合可得以下充要命题.命题1点M(x(),y())分别在OO：x2+y2=r2的内部，上面，外部的充要条件是直线儿x()x+y()y=r2分别与G)O相离，相切，相交.由圆类比椭圆，双曲线，抛物线，可以探究出相关的命题.首先给出圆锥曲线的内(外)部的定义：圆锥曲线将平面划分为曲线上和曲线外两个部分
5、，在曲线外的部分中焦点所在的区域称为圆锥曲线的內部，焦点不在的区域称为圆锥曲线的外部.其次根据点与関的位置关系，类比点与関锥曲线位置关系的一个充要条件：22命题0⑴点M(xo,yo)分别在椭圆C：二+占=l(d>b>0)的内CTb"部，上面，外部的充要条件分别是乎+召<1,十1・即b2x^+a2yl-a2b2<0,=0,>().⑵点M(x(),y())分别在双曲线V2V2C:—-■—=l(cz>0,/?>0)的内部,2b2上面，外部的充要条件分别是鶴-与>l,=l,vl.即CT少b2xl-a2yl~a2b2>0,=0,<0.⑶点M(x(),y())分别在抛物线C：y2=2px(
6、p>0)的内部，上而，外部的充要条件分別是y：-2<°，=°，>°•22现仅证明⑴：若点M(xo,y°)在椭圆C：二+、=l(d>b>0)上,cr/?_则_y+=1,反之亦真；若点M(x(),y())在椭圆C:二~+十~=1((2>/?>0)的内部，过点M作垂直于x轴的直线交椭圆C于点N,设N(x°,y),2222则y，>朮,从而其+¥v空•卩b2x^+a2yl-a2b2<0.反之成erkrcTb~22立;若点M"）在椭圆C：尹斧1（5>0）的外部，仿上可证.现类比命题1可依次得出：XV命题2点M(Xo,yo)分别在椭圆C：—+-^=1(a>b>0)的内部,crkr上面，外部的
7、充要条件是直线几等+計5>°）分别与椭圆C相离，相切，相交.22命题3点M（xo,yo）分别在双曲线C：二―=1(°>0,方>0)的辱—卑=1分别与双
8、
9、
10、］线}ya~h~内部，上面，外部的充要条件是直线儿C相离，相切，相交.命题4点M（x（by（））分别在抛物线C：y2=2px(p>0)的内部,上面，外部的充要条件是直线儿儿〉，二p（兀o+x）分别与抛物线C相离，相切，相交.证明命题3：将双曲线C的方程与直线/的方程联立，消去y,得（/）《一/?乂）兀2+2//72；7一04（/?2+）彳）=0,.・・△=4a4bH+4a4（/?2+泌）@2尤一胪球）=4a4y：a2b2-
11、（员球一巧：）］由命题0⑵，△v0,=0,>0・故直线儿辱一孚=1分别与双曲线Ccrb」相离，相切，相交.以上每步均可逆.故命题3正确.同法可证命题2和命题4都正确.下面仅以教材上两道习题为例谈谈它们的应用.1.（习题7.7第7题）求直线4x-3y=5O和圆x2+y2=100的交点，说明它们的位置关系.解由直线4x-3y=50,^8x-6y=100,由此构造点M(8,-6),显然点M在圆/+b=ioo上，据命题1知，直线4x-3y=50和圆x2+y2=100相切,其交点为(8,-6).2.(
