课题：平几和立几类比的探究

《课题：平几和立几类比的探究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、《平几和立几类比的探讨》教案——奉贤区致远高级中学周叶青一、课题：平几和立几类比的探讨二、教学目标：1.通过学生对“平几和立几类比”研究过程的展示，使学生进一步理淸怎样利用类比方法猜想出新命题、辨别、论证新命题。2.通过学生的展示、归纳、总结出“平几与立几”中常用的类比方法，用于以后的学习中。3.展示学牛•经历在教师指导下口主研究的过程，在探求的过程中逐步形成良好的思维习惯。通过讨论、交流、归纳，培养学生的探究能力及合作精神，提高学习的积极性与主动性。三、教学难点重点：重点：平几和立几的类比。难点：用平几和立几的类比來证明、求解立几题。四、教学教具：电脑、幻灯等五、教学过程：（一）、引入（师

2、）同学们我们研究“平面几何和立体几何的类比”己经多吋了。平几和立几的类比是一-种结构上的类比，也是一种方法和模式上的纵向类比。大家从弄淸什么叫类比？类比的対象是什么？并通过类比方法的训练，从而确定如下的类比物：（符号“s”表示可类比）直线S直线，直线s平面，三角形S四面体，平行四边形S平行六面体，矩形S长方形正方形sjn方体，线段长度s三角形面积，面积s体积等。大家根据类比物进行了分类，类比出平几和立几中一些立理和命题。在研究过程中总结了一些好的研究方法。现在请几位同学介绍一下，他们是怎样利用类比物，猜想出新命题,辨别、论证新命题的。下面请顾唯洁同学讲一下她是怎样进行研究的。（二）、成果展示

3、1.（生）顾唯洁讲解：我的研究是从熟知的平几命题开始，根据类比物类比出立几屮的命题的。图（1）“正三角形内任一点到三边距离Z和为一-定值”这一平几命题。我抓住类比物：三角形类比四面体，点线距离类比点面距离，从而猜想出立几问题：“止四面体内任一点到其四面的距离之和为一定值。”在证明猜想时，我又根据类比物，面积和体积的类比，根据平几中的证明思想类比证明该立几猜想,以下是证明过程：正三角形内任一点到三边距离Z和为一-定值。证明：如图（1）设点P到BC.CA.AB三边的距离分别为P°,Pb，P（连阳,PB,PC,三边分别为abc正三角形的高为h。则:SzbC=S、pbc+S^Ac+S、pab=^P(

4、.+禺+^cP(=^Pa+Ph+Pc)2・—ahC+几+巳=亠吆=」—=/?ABC的高/?为定值。ha止四面体内任一点到其四个面的距离之和为一怎值。证明：如图(2)设P到四个面的距离依次为P“P"Pc巴连结PA,PB,PC.PD正四面体的高为h匕心"PABC+%CD+%»+%ABABCD=3巧$心眈+qPQNBCD+3巧Sadm=^^c(P^Pb+P^Pd)D3*—hSwe,.P(]+Ph+Pc+P(lV°MliC止四面体高〃为定值。(师)点评：顾唯洁同学通过平几中熟知的命题，抓住类比物中：三角形类比四面体、点到直线的距离、类比点到面的距离。猜想出立几中的命题。并抓住类比物中面积和体积的类

5、比，用平面的证明方法类比出立几的证明方法。从而用求体积的方法证明了猜想，这是类比研究中一个很好的思维方法。下面请姚杰同学讲一讲他是怎样进行研究的？1.(生)姚杰：平几中的射影定理是“三角形的任一边等于其余两边在该边上的射影Z和。”我就想在空间是否也冇类似的射影定理呢？我抓住类比物：三角形类比四面体，线段长类比三角形面积，猜想出：“四面体任一个面的面积等于其余三个面在该面上的射影Z和。”在证明时平面射影定理冇锐角三角形和钝角三角形两种情况，通过类比猜想牢间射彫定理也可能冇类似两种情况，根据这样的思想我分别MH1T四面体内二面角为锐角和二面角为钝角的四面体。猜想证明时我又抓住类比物，根据平几证明

6、方法证明立几猜想。射影定理，三角形的任一边等于其余两边在该边上的射影Z和。aD证明：作4D丄BC在图(3)中，图(3)Ha-BD+DC=ccosB+bcosc在图（4）中，有a=BD-DC=ccosB-hcos（l80°-c）图（4）a=ccosB+/?cosc四面体任一个表面的面积等于其余三个表面在该面上的射影z和。证明：作A0丄平面BCD,垂足为0,作0E丄BC垂足为E,连AEill三垂线定理，丄BC。所以AE=h,是AA3C的高同理可得MCD的高h2,ABD的高h3。又设点0到BC,CD,BD三边的距离分别为甘2巴。设％0』分别为平面ABC.ACD.ABD与底面BCD的夹角。图（5）

7、由图（5）：S'BCD=SgBC+SCD+SBD=-BCP}+-CD-P.+-BDP,22_2=—BCh{cos+—CDh2cos/?+—BDh3cosy=swecosa+SweCOS0+Scosy由图（6）：S収口=SOBC+S、OBD_SCD=」BC•片+丄BD・4--CDP.222-—BCh、cosa+丄BDh?cos/-—CDh2cos（l80°一0）222=Swccosa+Scos0+