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1、《平几和立几类比的探讨》教案——中原中学朱学曦（20011211）一、课题：平几和立几类比的探讨二、教学目标：1.通过学生対“平几和立几类比”研究过程的展示，使学生进一步理清怎样利用类比方法猜想出新命题、辨别、论证新命题。2.通过学生的展示、归纳、总结出“平几与立几”中常用的类比方法，用于以后的学习中。3.展示学生经历在教师指导下自主研究的过程，在探求的过程中逐步形成良好的思维习惯。通过讨论、交流、归纳，培养学生的探究能力及合作精神，提高学习的积极性与主动性。三、教学难点重点：重点：平几和立几的类比。难点
2、：用平几和立几的类比來证明、求解立几题。四、教学教具：电脑、幻灯等五、教学过程：（一）、引入（师）同学们我们研究''平面几何和立体几何的类比”己经多时了。平几和立几的类比是—种结构上的类比，也是一种方法和模式上的纵向类比。大家从弄清什么叫类比？类比的对象是什么？并通过类比方法的训练，从而确定如下的类比物：（符号"S”表示可类比）克线S直线，直线S平面，三角形S四面体，平行四边形S平行六而体，矩形S长方形止方形S止方体，线段长度S三角形面积，面积S体积等。大家根据类比物进行了分类，类比出平几和立几中一些定理
3、和命题。在研究过程中总结了一些好的研究方法。现在请几位同学介绍一下，他们是怎样利用类比物，猜想出新命题,辨别、论证新命题的。下面请顾唯洁同学讲一下她是怎样进行研究的。（二）、成果展示1.（生）顾唯洁讲解:我的研究是从熟知的平几命题开始，根据类比物类比出立几中的命题的。图（1）"止三角形内任一点到三边距离之和为一定值”这一平几命题。我抓住类比物：三角形类比四面体，点线距离类比点面距离，从而猜想出立几问题：“止四面体内任一点到其四面的距离之和为一定值。”在证明猜想时，我又根据类比物，面积和体积的类比，根据平几
4、中的证明思想类比证明该立几猜想,以下是证明过程：正三角形内任一点到三边距离Z和为一定值。证明：如图（1）设点P到BC,CA,AB三边的距离分别为Pa,P「Pc连PA,PB,PC,三边分别为cibc止三角形的高为h0则：=S、PBC+^SPAC+S、PAB=ciPa+0^a(P(l+%+/•)2S2•齐力匕+心+匕=1^=_Z_=力zbC的高力为定值。ha正四面体内任一点到其四个面的距离Z和为一定值。证明：如图（2）设P到四个面的距离依次为Pa,Pb,Pc,Pd连结PA.PB、PUPD止四面体的高为hPD
5、ABABCD^ABC+PQ'BCD+PQMDA+§匕SD・••巧+心+匕+匕=§Smbc(巴+Pb+Pc+PJ止四面体高力为定值。（师）点评：顾唯洁同学通过平几中熟知的命题，抓住类比物中：三角形类比以面体、点到直线的距离、类比点到面的距离。猜想出立几中的命题。并抓住类比物中面积和体积的类比，用平面的证明方法类比出立几的证明方法。从而用求体积的方法证明了猜想，这是类比研究中一个很好的思维方法。下面请姚杰同学讲一讲他是怎样进行研究的？1.（生）姚杰：平几中的射影定理是’‘三角形的任一边等于其余两边在该边上的射
6、影之和。”我就想在空间是否也有类似的射影定理呢？我抓住类比物：三角形类比四面体，线段长类比三角形面积，猜想出：“四面体任一个面的面积等于其余三个面在该面上的射影之和。”在证明时平面射影定理有锐角三角形和钝角三角形两种情况，通过类比猜想空间射影定理也可能有类似两种情况,根据这样的思想我分别画出了四面体内二面角为锐角和二面角为钝角的四面体。猜想证明时我又抓住类比物，根据平几证明方法证明立几猜想。射影定理，三角形的任一边等于其余两边在该边上的射影之和。A证明：作AD丄BC在图（3）中，A有。=BD+DC=cco
7、sB+bcosc图(3)图（4）在图(4)中，有a=BD-DC=ccosB-bcos(l80°-c)a=ccosB+Z?cosc四而体任一个表而的而积等于英余三个表而在该而上的射影之和。证明：作人0丄平面BCD，垂足为0,作0E丄垂足为E,连AE1］三垂线定理，4E丄BC°所以AE=h,是MBC的高同理可得44CD的高％，AABZ）的高他。又设点0到BC,CD,BD三边的距离分别为片，人，人。设Q,0』分别为平面ABC,ACD,ABD与底面BCD的夹角。由图（5）：图(5)S'BCD=S&OBC+AOC
8、D+SOBDpBC.PjCD.P厂寸D・％—BCh、cosa+—CDh2cos0+—BDh、cos/222S.xabccosg+5mcdcos0+Smbdcosy由图（6）：S'BCD=SpBG+S、OBD_S、OCD-BCP,+-BDP.--CDP.2人2»2乙丄BCh、cosa+—BDh3cosy——CDh2cos(l80°一0)xabccos"+SgcDcos0+Smbdcosy图（6）我研究了好多平几和立几中可类比命
