立几和平几类比型问题探究

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1、立几和平几类比型问题探究立体几何是建立在平面几何的基础上，培养空间想象能力和逻辑思维能力的一门学科，其特点是“空间问题平面化”，为此，在空间概念形成过程中，注重平几和立几方法和结论的类比联想，归纳演绎，有助于提高学生的综合数学素质的提高.一类比平几中有关结论，探究正迁移到空间中的结论.1过一点有且仅有一条直线和已知直线平行（平几结论用公理的推论可推广到空间）；2平行线的传递性在空间中也成立.PABDPABCDEFHME3一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则这两个角相等.二充分利用空间概念和题设信息探究可类比平几中

2、的有关结论。1平几中，“垂直同一直线的两直线必平行”，类比到空间为“垂直于同一平面的两直线必平行”和“垂直于同一直线的两平面必平行”；2平几中“夹在两平行线间的平行线段相等”，类比到空间为“夹在两个平行平面间的平行线段相等”.3等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和为定值，拓展空间为，正三棱锥底面上的任一点到三个面的距离之和为定值（即正三棱锥侧面上的高，斜高）；4正三角形内任一点到各边距离之和为定值即正三角形的高；类比结论，正四面体内任一点到各面的距离之和为定值即为正四面体的高；5正方形的内切球和外接球的半径比为1：；正方

3、体的内切球和外接球与棱相切的球的半径比为.；6如上图，有面积公式，类比到空间有体积公式1-6类比思维方法，平面升维为空间，面积分割升维为体积分割，注意应用空间概念探究；对6进行探究，平几中用面积公式，立几中用体积公式，如图，设PC与面PAB所成的角为，则F，C到面PAB的距离为，则7正三角形的内切圆和外接圆的半径比为1：2；正四面体的内切球和外接球的半径比为1：3.ABCDDABCEO探求正四面体体积，棱长，外接球，内接球之间的关系，面积分割升维为体积分割.涉及到体积求解中的“分割与补形”.若用教材58页习题的处理方法，设正四

4、面体边长为，正四面体纳入正方体中，可知正方体棱长为a，正四面体的外接球半径即正方体的外接球半径为，则正四面体的体积V=V正方体-4V锥2=另一方面体积分割，内切球和半径将正四面体分割成四个全等的正三棱锥，，则r=R。评注：探究过程凸显正四面体的体积计算的两种方法，第一次求正四面体积“补形纳入正方体再割补法”，这是由教材第53页8题的学习体验决定的；第二次探求外接球半径和内接球半径的关系用“体积分割法”，这是由正四面体的外心和内心重合的特征和类比“三角形中面积分割法”确定的，这两种方法都是求解多面体体积常用的方法，应积累这种学习

5、体验.8平几中的射影定理的类比.中，，D是垂足，则.类比有，设三棱锥A-BCD中，，O为垂足，ABCDE且在三角形BCD内，则.如何证明？应用空间概念转化和平几射影定理，易知，中，AO为斜边DE上的高，由平几的射影定理有，注意到三个三角形公用底边BC，由面积公式整理，类比的结论成立9平几中沟股定理的类比:设三角形ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2.拓展到空间，类比平几中有沟股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积的关系，可以得出结论有：设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则有.法1：

6、用以上射影定理类比的结论的研究过程的结论易证.AABCEDBCEO法2：利用空间概念和勾股定理证明.由于三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直依据课本习题知，三侧棱AB、AC、AD两两垂直，则AD垂直于面ABC，构造边BC的垂面,做AE垂直BC于E,连接DE,由三角形的面积公式和勾股定理得10平几中三角形的内角平分线定理的类比：三角形ABC的的平分线CE分AB所得线段比;把这个结果类比到空间:三棱锥A-BCD中,如图,平面DCE平分二面角A-CD-B,且与AB相交于点E,则可得到类似的结论为.如何证明?用空间概念和内角平分

7、线性质定理.ABCNMDEFP先思考特殊情况,如图,三角形BCD和三角形ACD的底边CD的高线交于O时，则EO平分二面角的平面角，由内角平分线定理，结论成立；若三角形BCD的底边CD的高线BN和三角形ACD的底边CD的高AM不相交于一点时，利用空间线面平行性质定理，平移到相交，用内角平分线性质定理完成.平移BN使N和M重合，则四边形BNMP为平行四边形，设平面CDE和AP交于F，由面面平行的性质定知EF和BP平行，MF为所求二面角的平面角的平分线，则，故命题成立.ABCB1C1B1PMN评注：注意本题的“先特殊后一般，添加辅助

8、元将一般转化为特殊情况解决”探究问题的思维方法的体验.11三角形的余弦定理的类比：三角形的余弦定理，拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明。如何探究？用空间概念和余弦定理.其中为侧面B1C1CB和侧面C1