线性代数习题册

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1、线性代数习题册江苏师范大学科文学院第一章矩阵重点掌握：矩阵的运算；行列式的计算；元素的代数余子式和伴随矩阵的定义；可逆矩阵的性质和逆矩阵的求法；矩阵秩的求法等。一、逆矩阵对于，若有满足，则称为可逆矩阵，且为的逆矩阵，记作．为可逆矩阵；为可逆矩阵．运算律：（1）可逆可逆,且．对于，取，有．（2）可逆，可逆，且．对于，取，有．（3）与都可逆可逆，且．对于，取，有．（4）可逆可逆,且．对于，取，有．（5）可逆．（6）与都可逆．二、矩阵的初等变换初等变换行变换列变换①对调②数乘③倍加经过初等变换得到,记作．初等矩阵：（1）（2

2、）（3）定理设是矩阵，则（1）对进行一次行初等变换，相当于用一个阶的初等矩阵左乘；（2）对进行一次列初等变换，相当于用一个阶的初等矩阵右乘.求逆矩阵的初等变换法：（都是初等矩阵）由此可得：对矩阵施行“初等行变换”，当前列（的位置）成为时，则后列（的位置）为．三、矩阵的秩1、子式：在中,选取行与列,位于交叉处的个数按照原来的相对位置构成阶行列式,称为的一个阶子式,记作．对于给定的,不同的阶子式总共有个．2、矩阵的秩：在中，若(1)有某个阶子式；(2)所有的阶子式（如果有阶子式的话）．称的秩为，记作，或者．定理任意一个矩阵

3、，均可以经过一系列行初等变换化为阶梯矩阵.定理初等变换不改变矩阵的秩.定理阶矩阵可逆.典型习题练习＊1设是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与等价的矩阵是（）A．B．C．D．2．设3阶阵，则的秩为（）A．0B．1C．2D．3＊3如果阶方阵可逆，则下列结论正确的是（）A；B；C；D的行向量线性相关。4设是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与等价的矩阵是____________。＊5设为三阶方阵，且，则____________。＊6设为三阶方阵，____________。＊7．已知三阶方阵的行列式，则___________。8．设矩设矩阵

4、，矩阵，则矩阵的秩=____________。9．设矩阵，矩阵，则矩阵的秩=____________。＊10设n阶可逆矩阵满足，则=____________。11．3阶矩阵，则的秩为____________。12矩阵，则行列式=____________。13。＊14已知三阶方阵的行列式，则。15已知矩阵，，则=____________。＊16设矩阵，则的特征值为____________。17计算行列式＊18计算行列式＊19计算行列式。20计算行列式＊21设，求。＊22设，求。＊23设，求。＊24设，求。＊25设，求26

5、已知阶矩阵满足,求证：可逆，并求的逆。＊27证明：如果矩阵是可逆对称矩阵，则也是对称矩阵。第二章线性方程组重点掌握：向量组间的线性关系：线性相关和线性无关；向量组极大无关组和秩的求法，线性方程组基础解系的求法等。一、线性方程组一、克拉姆（Cramer）法则定理（克拉姆法则）如果含有个方程的元线性方程组（1）的系数行列式则方程组（1）有唯一解，并且其中是将系数行列式的第列元换成常数项后得到的行列式.定理如果如果含有个方程的元线性方程组的系数行列式，则方程组（2）仅有零解.二、解线性方程组的消元法定理,（1）有解；（2）有

6、解时，若，则有唯一解；若，则有无穷多组解，此时，一般解中有个自由未知量．定理(1)仅有零解；(2)有非零解[即有无穷多个解]．由于对矩阵有，由此得到推论如果元齐次线性方程组中，方程的个数少于未知量的个数，即，则方程组必有非零解.特别地，对于含有个方程的元齐次线性方程组由定理2.2和定理2.4可以得到定理齐次线性方程组有非零解．三、向量及其线性运算1．向量的线性组合设维向量，及（为正整数），若有数组使得，称为的线性组合，或称可由向量组线性表示．2．线性相关与线性无关对维向量组，若有数组不全为0，使得则称向量组线性相关，否

7、则称为线性无关．线性无关：对维向量组，仅当数组全为0时，才有称向量组线性无关，否则称为线性相关．向量组线性相关元齐次线性方程组（1）有非零解.向量组线性无关元齐次线性方程组（1）仅有零解.特别地，当时，由定理2.5可推出：向量组线性相关方程组（1）的系数行列式向量组线性无关方程组（1）的系数行列式四、向量组的秩极大线性无关组：设向量组为，若（1）在中有个向量线性无关；（2）在中有个向量线性相关（如果有个向量的话）．[即中每一个向量都可以表为的线性组合]则称为向量组的一个极大线性无关组，简称为极大无关组，称为向量组的秩，

8、记作：秩．[即极大无关组所含的向量个数]向量组的秩与矩阵的秩的关系设(1)线性相关；(2)线性无关．当时，有（1）线性相关；（2）线性无关．五、线性方程组解的结构1、齐次线性方程组的基础解系不妨设的一般解为()依次令可求得，，…，因为（1）线性无关（2），所以是解空间的一个基，称为齐次方程组的一个基础解系．2、非齐次线性方程组解的