2020届高考数学二轮复习第二部分专题六函数与导数满分示范课——函数与导数专题强化练理

《2020届高考数学二轮复习第二部分专题六函数与导数满分示范课——函数与导数专题强化练理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、满分示范课——函数与导数函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点．对于这类综合问题，一般是先求导，再变形、分离或分解出基本函数，再根据题意处理．【典例】　(满分12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝lnx－.(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线y＝ex的

2、切线．[规范解答]　(1)f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)．因为f′(x)＝＋>0，所以f(x)在(0，1)，(1，＋∞)单调递增．因为f(e)＝1－<0，f(e2)＝2－＝>0，所以f(x)在(1，＋∞)有唯一零点x1(e

3、0，lnx0)处切线的斜率也是.所以曲线y＝lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线y＝ex的切线．高考状元满分心得1．得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分．如第(1)问中，求导正确，判断单调性．利用零点存在定理，定零点个数．第(2)问中，由f(x0)＝0定切点B，求切线的斜率．2．得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(1)问中，求出f(x)的定义域，f′(x)在(0，＋∞)上单调性的判断；第(2)问中，找关系lnx0＝，判定两曲线在点B处切线的斜率相等．3．得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证．如

4、第(1)问中，求导f′(x)准确，否则全盘皆输，判定f(x1)＝－f＝0；第(2)问中，正确计算kAB等，否则不得分．[解题程序]　第一步：求f(x)的定义域，计算f′(x)．第二步：由f(x)在(1，＋∞)上的单调性与零点存在定理，判断f(x)在(1，＋∞)上有唯一零点x0.第三步：证明f＝0，从而f(x)在定义域内有两个零点．第四步：由第(1)问，求直线AB的斜率k＝.第五步：求y＝ex在点A、B处的切线斜率k＝，得证．第六步：检验反思，规范解题步骤．[跟踪训练]1．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2.71

5、828….(1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1，2)上有零点；(2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由；(1)证明：由题意可得h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－－x，所以h(1)＝e－3＜0，h(2)＝e2－3－＞0，所以h(1)·h(2)＜0，所以函数h(x)在区间(1，2)上有零点．(2)解：由(1)可知，h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－－x.由g(x)＝＋x知x∈[0，＋∞)，且h(0)＝0，则x＝0为h(x)的一个零点．又h(x)在(1，2)内有零点，因此h(x)在[0，＋∞)上至少有两个零点．h′

6、(x)＝ex－x－－1，记φ(x)＝ex－x－－1.则φ′(x)＝ex＋x－，当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)＞0，则φ(x)在(0，＋∞)上递增．易知φ(x)在(0，＋∞)内只有一个零点，所以h(x)在[0，＋∞)上有且只有两个零点，所以方程f(x)＝g(x)的根的个数为2.2．(2019·安徽十校联盟)已知函数f(x)＝lnx＋ax＋1(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)的图象与x轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数x1，x2，都有<＋.(1)解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋a＝.当a≥0时，f

7、′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，由f′(x)＝0，得x＝－.若x∈，f′(x)>0，f(x)单调递增；若x∈，f′(x)<0，f(x)单调递减．综上：当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)证明：由(1)知，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不满足条件．当a<0时，f(x)的极大值为f＝－ln(－a)，由已知得－ln(－a)＝0，故a＝－1，此时f(x)＝lnx－x＋1.不妨设0

8、.令g(x)＝lnx－x＋(x>1)，故g(x)在(1，＋∞)单调递减，所以g(x)