高考数学必备秘笈--数学大题题型通解

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1、管卫东轻松考数学：高考大题中的通解思维当前教学上喜欢讲究一题多解，因为这样能够锻炼学生的做题思维和技巧，但是搏众高考中心今天我们要反其道而行之，那就是一解多题。数学大题表面上是很难，但是通过多年的教学积累和经验总结，我们发现数学整个学科的解题思维基本上趋于一致，能够形成通解，使我们在数学教学上大幅的简化，甚至不需要刻意的思考。我们借助一下历年高考真题，看看是不是能够用一种方法或一种思维进行解答。这里，我们全部采用05~08全国I卷的最后一题，发现是数列、函数或不等式题，没关系，题型不一样，看看是否能用固定的思维

2、解法，解题步骤中存在什么样的共性：24x−7（05全国卷）已知函数f(x)=,x∈[0,1].2−x（Ⅰ）求f(x)的单调区间和值域；32（Ⅱ）设a≥1，函数g(x)=x−3ax−2a，x∈[0,1]。若对于任意x∈[0，1]总存在1x∈[0，1]，使得g(x)=f(x)成立，求a的取值范围。001解析：本题看似式子复杂，但是第一问直接可根据定义去做，这个分数必须拿到。根据定义得出以下式子：2−4x+16x−7(2x−1)(2x−7)解：（I）对函数f(x)求导，得f′(x)==−到这步几乎大家都会，22(2−

3、x)(2−x)题目问的是的单调区间和值域，很多人看到这个式子不敢往下分析，其实仍旧跟据定义：令17f′(x)=0解得x=或x=.然后做表分析即可。【思考：凭什么令f′(x)=0？】22当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表：11所以，当x∈(0,)时，f(x)是减函数；当x∈(,1)时，f(x)是增函数.22当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[－4，－3].第二问很多人看题目就晕菜了，其实这道题即使你不会分析，大胆的往下做，就能把题目做对，我们思考下，题目给的条件和我们要求的差距点是什么？这道题的差

4、距点虽然较大，但是用这种求差值的思想是能一步步走下去的，题目给的是g(x),x1和x0,并且给了范围，要我们求解a的范围，要想求a的值，就必须列出a的表达式，a的表达式想要列出，就必须从g（x）入手，题目给的信息除了区间就没有其他能利用的条件了。既然题目给的是区间，因此我们不妨对函数g(x)求导，得22g′(x)=3(x−a).【思考：凭什么进行求导？目的是什么？】到了这一步，由于题目告诉我们a≥1，2所以当x∈(0,1)时，g′(x)<3(1−a)≤0.因此当x∈(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x∈[0

5、,1]时有g(x)∈[g(1),g(0)].这个就是我们所要的缺失条件。到这里可能同学们清楚了为什么要进行求导，因为题目给了我们取值区间，要想求出a值，只要判断这个函数的增减性就行了，这就是条件差异弥补的推导思想。由于知道函数的增减性，就容易了，马上可列出a的表达式：22又g(1)=1−2a−3a,g(0)=−2a,即当x∈[0,1]时有g(x)∈[1−2a−3a,−2a].有人说这个不是表达式，还是个未知数，没关系，我们再用同样的思想去走，发现现在能利用的条件也异常清楚了（因为就这个没用上了）：任给x∈[0,

6、1]，f(x)∈[−4,−3]，存在x∈[0,1]使得g(x)=f(x)，110012则[1−2a−3a,−2a]⊃[−4,−3]2⎧1−2a−3a≤−4<1>即⎨⎩−2a≥−3<2>53解得a≥1或a≤−；a≤.323又a≥1，故a的取值范围为1≤a≤.2评析：这道题式子复杂，05年高考时候正确率非常之低，但是其中的解题过程并不复杂，思维方向也十分明确，只是考题将多个概念进行转换，条件隐蔽的相对较深。数学题的核心就是知识点与逻辑能力的结合，但是总的思想是异常相似的，几乎全部的解答题都可以用一个思维来做，就是“

7、条件差异弥补法”和“必要性思维”。所谓的“必要性思维”指的是要想获取某个结果，必须获得的前提是什么，多属于逆推，两者的道理是一样的。这里我们总结出这道题的思维步骤和解题步骤：全部的思维步骤：1、严格按照题目的要求，判断要我们干什么2、找出题目给的条件和我们要求的差距点是什么3、利用“找后补”或“找前提”的方式弥补出这个差距4、最终联系条件得出这个结论固定的解题步骤：1、直接根据课本定义得出结论（某类题注意取值分析）2、用求同存异的思想进行条件转换3、函数用式子变形推出结果（引申：若是证明，数列用数学归纳法）我们

8、来看下道题，是否能够套用以上结论：（06全国卷）设数列{a}的前n项的和n41n+12S=a−×2+，n=1,2,3,nn333（Ⅰ）求首项a与通项a；1nnn23（Ⅱ）设Tn=，n=1,2,3,，证明：∑Ti