高考数学必备秘笈--难点函数方程思想

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1、函数方程思想函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.●难点磁场1.（★★★★★）关于x的不等式2·32x–3x+a2–a–3＞0，当0≤x≤1时恒成立，则实数a的取值范围为.2.（★★★★★）对于函数f(x)，若存在x0∈R,使

2、f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)（1）若a=1,b=–2时，求f(x)的不动点；（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；1（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+22a+1对称，求b的最小值.●案例探究x−3［例1］已知函数f(x)=logmx+3(1)若f(x)的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f(x)在定义域上的增减性，

3、并加以说明；(2)当0＜m＜1时，使f(x)的值域为［logm［m(β–1)］，logm［m(α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由.命题意图：本题重在考查函数的性质，方程思想的应用.属★★★★级题目.知识依托：函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组.错解分析：第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根.技巧与方法：本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题.x−3解

4、：（1）>0⇔x＜–3或x＞3.x+3∵f(x)定义域为［α,β］,∴α＞3x−3x−36(x−x)1212设β≥x1＞x2≥α，有−=>0x+3x+3(x+3)(x+3)1212当0＜m＜1时，f(x)为减函数，当m＞1时，f(x)为增函数.（2）若f(x)在［α,β］上的值域为［logmm(β–1),logmm(α–1)］∵0＜m＜1,f(x)为减函数.⎧β−3f(β)=log=logm(β−1)⎪mm⎪β+3∴⎨⎪α−3f(α)=log=logm(α−1)⎪⎩mα+3m2⎧⎪mβ+(2m−1)β−3(m−

5、1)=0即⎨,又β>α>32⎪⎩mα+(2m−1)α−3(m−1)=0即α,β为方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的两个根第1页共6页1⎧00⎪⎪2−3∴⎨2m−1∴0＜m＜⎪−>342m⎪⎪⎩mf(3)>02−3故当0＜m＜时，满足题意条件的m存在.4［例2］已知函数f(x)=x2–(m+1)x+m(m∈R)(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m≥5;(2)对任意实数α,恒有f(2+cosα

6、)≤0，证明m≥3;(3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m.命题意图：本题考查函数、方程与三角函数的相互应用；不等式法求参数的范围.属★★★★★级题目.知识依托：一元二次方程的韦达定理、特定区间上正负号的充要条件，三角函数公式.错解分析：第(1)问中易漏掉Δ≥0和tan(A+B)＜0，第(2)问中如何保证f(x)在［1,3］恒小于等于零为关键.技巧与方法：深挖题意，做到题意条件都明确，隐性条件注意列.列式要周到，不遗漏.（1）证明：f(x)+4=0即x2–(m+1)x+m+4=0.依题意

7、：2⎧∆=(m+1)−4(m+4)≥0⎪⎨tanA+tanB=m+1>0又A、B锐角为三角形内两内角⎪tanA⋅tanB=m+4>0⎩π∴＜A+B＜π2tanA+tanBm+1∴tan(A+B)＜0，即tan(A+B)==<01−tanAtanB−m−32⎧m−2m−15≥0⎪m+1>0⎪⎪∴⎨m+4>0∴m≥5⎪⎪m+1>0⎪⎩m+3(2)证明：∵f(x)=(x–1)(x–m)又–1≤cosα≤1，∴1≤2+cosα≤3，恒有f(2+cosα)≤0即1≤x≤3时，恒有f(x)≤0即(x–1)(x–m)≤0∴m

8、≥x但xmax=3，∴m≥xmax=32m+12(m+1)(3)解：∵f(sinα)=sin2α–(m+1)sinα+m=(sinα−)+m−24m+1且≥2,∴当sinα=–1时，f(sinα)有最大值8.2即1+(m+1)+m=8，∴m=3●锦囊妙计函数与方程的思想是最重要的一种数学思想，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化.考生应做第2页共6页2到：–1（1）深刻理解一般