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《管卫东：数学大题题型通解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、管卫东轻松考数学：高考大题中的通解思维当前教学上喜欢讲究一题多解，因为这样能够锻炼学生的做题思维和技巧，但是搏众高考中心今天我们要反其道而行之，那就是一解多题。数学大题表面上是很难，但是通过多年的教学积累和经验总结，我们发现数学整个学科的解题思维基本上趋于一致，能够形成通解，使我们在数学教学上大幅的简化，甚至不需要刻意的思考。我们借助一下历年高考真题，看看是不是能够用一种方法或一种思维进行解答。这里，我们全部采用05~08全国I卷的最后一题，发现是数列、函数或不等式题，没关系，题型不一样，看看是否能用固定的思维解法，解题步骤中存在什么样的共性：（05全国
2、卷）已知函数（Ⅰ）求的单调区间和值域；（Ⅱ）设，函数。若对于任意总存在，使得成立，求a的取值范围。解析：本题看似式子复杂，但是第一问直接可根据定义去做，这个分数必须拿到。根据定义得出以下式子：解：（I）对函数求导，得到这步几乎大家都会，题目问的是的单调区间和值域，很多人看到这个式子不敢往下分析，其实仍旧跟据定义：令解得然后做表分析即可。【思考：凭什么令？】当变化时，的变化情况如下表：所以，当时，是减函数；当时，是增函数.当时，的值域为[－4，－3].第二问很多人看题目就晕菜了，其实这道题即使你不会分析，大胆的往下做，就能把题目做对，我们思考下，题目给的条
3、件和我们要求的差距点是什么？这道题的差距点虽然较大，但是用这种求差值的思想是能一步步走下去的，题目给的是g(x),x1和x0,并且给了范围，要我们求解a的范围，要想求a的值，就必须列出a的表达式，a的表达式想要列出，就必须从g（x）入手，题目给的信息除了区间就没有其他能利用的条件了。既然题目给的是区间，因此我们不妨对函数求导，得【思考：凭什么进行求导？目的是什么？】到了这一步，由于题目告诉我们，所以当时，因此当时，为减函数，从而当时有这个就是我们所要的缺失条件。到这里可能同学们清楚了为什么要进行求导，因为题目给了我们取值区间，要想求出a值，只要判断这个函
4、数的增减性就行了，这就是条件差异弥补的推导思想。由于知道函数的增减性，就容易了，马上可列出a的表达式：又即当时有有人说这个不是表达式，还是个未知数，没关系，我们再用同样的思想去走，发现现在能利用的条件也异常清楚了（因为就这个没用上了）：任给，，存在使得，则即解得；又，故a的取值范围为评析：这道题式子复杂，05年高考时候正确率非常之低，但是其中的解题过程并不复杂，思维方向也十分明确，只是考题将多个概念进行转换，条件隐蔽的相对较深。数学题的核心就是知识点与逻辑能力的结合，但是总的思想是异常相似的，几乎全部的解答题都可以用一个思维来做，就是“条件差异弥补法”和
5、“必要性思维”。所谓的“必要性思维”指的是要想获取某个结果，必须获得的前提是什么，多属于逆推，两者的道理是一样的。这里我们总结出这道题的思维步骤和解题步骤：全部的思维步骤：1、严格按照题目的要求，判断要我们干什么2、找出题目给的条件和我们要求的差距点是什么3、利用“找后补”或“找前提”的方式弥补出这个差距4、最终联系条件得出这个结论固定的解题步骤：1、直接根据课本定义得出结论（某类题注意取值分析）2、用求同存异的思想进行条件转换3、函数用式子变形推出结果（引申：若是证明，数列用数学归纳法）我们来看下道题，是否能够套用以上结论：（06全国卷）设数列的前项的
6、和，（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：解析：题目直接要求我们求首项和通项，由于我们知道通项和Sn公式，就能直接根据定义来做。解:(Ⅰ)由Sn=an－×2n+1+,n=1,2,3，…,①得a1=S1=a1－×4+所以a1=2.再由①有Sn－1=an－1－×2n+,n=2,3，4,…②将①和②相减得:an=Sn－Sn－1=(an－an－1)－×(2n+1－2n),n=2,3,…做到这一步相信大家都会，那么我们要求an公式，通过这个式子，我们发现差距点在an－an－1，同时可以2n+1－2n也是相差一次，因此直接提出后，可以得出：an+2n=4(an－1+
7、2n－1),n=2,3,…,这个就是我们所弥补的缺失点。因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即:an+2n=4×4n－1=4n,n=1,2,3,…,因而an=4n－2n,n=1,2,3,…,做到这里，我们要问自己凭什么这么转化，我们所求的an和得到的结果(an与an－1)存在差异点，要想把这个差异点弥补，就把他们之间的关系列出，就能得出结论。第二问是数学证明，首先可以考虑数学归纳法证明，但是这题题设与我们得到的结论差距较少，直接求解较快，如果为求稳妥，建议用数学归纳法。看看直接求解的思路：题目让干嘛就干嘛，别多想，直接用定义。
8、题目给的是这个式子，那么必须求出Sn。(Ⅱ)将an=4n－2n代入①得Sn=×(
