极限概念教学中学生抽象概括能力的培养策略

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1、极限概念教学中学生抽象概括能力的培养策暁摘要：高等数学教学的主要任务之一，就是培养学生的数学思维能力。极限概念是由实际问题抽象出来的，是用高度抽象和形式化的数学语言来描述的。因此，利用极限概念教学，是培养学生抽象概括能力的有效途径之一。本文从观察实例、引出极限的定性定义、抽象出极限的定量定义等几个环节探讨学生抽象概括能力的培养。关键词：极限；教学；抽象概括能力中图分类号：G642文献标识码：A文章编号：1009-8631(2013)02-0091-02当今社会，大学生作为国家的栋梁，社会改革的先锋，民族振兴的希

2、望，社会对他们的要求越来越高，不但要掌握教材上的理论基础知识，更耍在学习知识的过程中接受系统的思维训练，还应具备独立思考，深入分析问题的能力，尤其是应具备抽象思维能力和概括•能力。高等数学作为理工科学生的一门专业必修课，其研究对象是函数，研究工具是极限，如高等数学中函数的连续、导数、定积分、二重积分、级数的收敛等概念都是用极限的方法泄义的。因此，要理解高等数学的概念，须先掌握极限的方法和概念。极限概念是通过实际问题抽象概括出来的，是使用高度抽象和形式化的数学语言来描述的。所谓抽象，是指从复杂事物中排除非本质属性

3、，透过现象抽出其本质特征的思维过程［1］。概括是指在学习过程中把具有共同特征的事物联系起来考察，抽象出数学对•象的本质属性，将英推广为包含该对象的更大范围的同类数学对象的木质属性；或是把具有共同特征的数学对象结合起来进行考察研究，寻找并抽取其中有内在关系和规律的不断发展的思维活动方式或思维动作［2］。具体表现为对概括独特的热情，发现在普遍现象中存在着差界的能力，在各类现象间建立联系的能力，分离出问题的核心和实质的能力，山特殊到一般的能力，从非本质的细节中使自己摆脱出來的能力，把本质的与非本质的东西区分开來的能力

4、，善于把具体问题抽象为数学模型的能力等方面［3］。本文就理工科高等数学极限概念教学屮，从观察实例、引出极限的定性定义、抽象出极限的定量定义等几个环节探讨学生抽象概括能力的培养。一、观察实例，说明极限思想和极限方法，做好抽象概括•的示范工作学生在学习极限概念前，接触的几乎是初等数学知识，研究的大多数是常量，习惯于有限过程。而极限方法研究的是无限过程中变量的变化趋势的一种数学方法。为此，在讲述极限概念之前，必须通过实例使学牛理解极限思想和极限方法，习惯用有限的形式描述无限的过程。让学生明白极限思想是从实践中提炼出来

5、的，极限方法是一种研究当自变量以某种方式变化时因变量的变化趋势的?种数学方法，其用途相当广泛。比如，半径为R的圆的周长为C=2?R,这个公式是怎样得到的呢？由于圆周是一条封闭曲线，所以无法用直尺度量其长度，但我们可以用直尺度量线段的长度，进而度量多边形的周长。基于这种“以直代曲”思想，早在公元263年，刘徽创造了“割圆术”［4］。他先作圆的内接正六边形，再平分每条边所对的弧，作圆的内接正十二边形，以下用边数成倍增加的方式继续作圆的内接正二十四边形，如此进行下去，得到一个圆的内接正多边形的周长数列{Pn}0这一串

6、的圆的内接正多边形的周长与该圆周长是什么关系呢？刘徽说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。这就直观地说明了当圆的内接正多边形的边数无限增多时，圆的内接正多边形的周长能够转化为该圆的周长。因此，在无限的过程中直边形能够转化为曲边形，近似可以转化为精确。这就是极限思想和极限方法在求圆的周长上的应用。通过对以上实际问题解决过程的介绍，让学生逐步领会把实际问题抽象为数学问题的思路和方法，做好抽象概括的示范工作。二、通过观察函数值的变化趋势，引出极限的定性定义，培养学生对感性材料的概括和

7、提炼能力数学的学习过程实际上是培养数学思维的过程，研究数学的最终目的是如何用数学知识解决实际问题。人类在学习的过程中都离不开语言，对于数学学习过程来说，除了使用普通语言外，还大量地使用数学语言（包括数学符号和逻辑符号）⑷，如极限的“e-N”定义，“-§”等。因此，在讲授极限概念前必须先通过观察函数值的变化趋势，总结出极限的定性定义，然后将定性定义翻译成数学语言，从而得极限的精确定义。