数理统计(1.概率部分复习

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1、数理统计(工科研究生课程)主要内容:概率论基本内容复习(2学时)数理统计基本概念(4学时)参数估计(4学时)假设检验(6学时)回归分析(8学时)方差分析(6学时)试验设计初步（4学时）10/16/20211目的和要求学习并掌握数理统计的基本内容,理论和方法学会用相应的统计方法分析和解决实际问题了解和掌握一些常用的统计工具10/16/202121.概率的计算与性质2.常见的概率分布及其问题背景3.大数定律与中心极限定理第Ⅰ部分:概率论基本内容10/16/202131.概率的计算与性质概率的计算途径通常有以下几种:古典概率计算几何概率计算利用频率（

2、统计定义）主观概率10/16/202141.1古典概率计算计算公式:注意:1.使用该公式计算概率要求样本空间具有等可能的有限个样本点.2.n和m的计算通常需要利用排列组合知识.10/16/20215经典古典概率问题主要有:德.梅尔(掷骰子)问题生日问题(分房问题)抽球问题产品抽样等等10/16/202161.2几何概率计算计算公式:注意:1.使用该公式计算概率要求样本空间中的样本点具有等可能性且充满一个几何体.2.分别表示相应几何体的度量.10/16/202171.3利用频率用作为概率P(A)的近似值.注意:1.使用该公式得到的值只是概率的近似

3、值,因此通常用于对随机现象没有更多了解时的情况.2.频率与试验次数n有关.但是频率和概率不具备普通极限意义上的收敛关系,而是依概率收敛(大数定律).10/16/202181.4主观概率目前一个非常值得注意的研究方向,其哲学理念可以表述为”概率是人们对事件发生可能性的一种判断,与人们的主观意念有关”.对于随机现象不能重复试验的问题,可以利用专家经验并根据对问题的观察判断给出事件发生可能性的估计.10/16/202191.5概率的性质及常用公式前苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年给出了概率的公理化定义,由此可以得到概率的诸多性质:如不可能事件的概率为

4、零,有限可加性,逆事件的概率,单调性等等.在复杂事件的概率计算中,常用到加法公式,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式等等.10/16/2021102.常见的概率分布及其问题背景常用的概率分布有:二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布10/16/2021112.1二项分布二项分布的实际背景是伯努利概型,即:每次试验只有两个结果A与,且P(A)=p,进行n次独立重复的试验,考虑事件A发生k次的概率.10/16/202112一般来说,可以首先设则服从二项分布.这样做的好处在于把二项分布变量分解为n个两点分布变量的独立和,在许多场合可以使得问题变得简单

5、.10/16/202113例某计算机主机有100个终端,每个终端有80%的时间被使用.若每个终端是否被使用是独立的,求至少有15个终端空闲的概率.设则100个终端被使用的数目是由中心极限定理,至多有85个终端被使用的概率是10/16/2021142.2泊松分布泊松分布主要用于描述单位时间内某种事件发生次数比较稀少的情况.某地区一年内重大自然灾害发生的次数;某商店在一周内销售的某种贵重商品数量;某电话总机一分钟内接到的呼叫次数;某种放射性物质在一秒钟内放射出的粒子数;等等另外应注意,二项分布问题当n很大,p比较小时,可以利用泊松分布来近似计算概率

6、.10/16/2021152.3均匀分布均匀分布的实际背景是几何概率问题,要求的条件是随机变量的取值充满一个几何空间,且取值其每一点的可能性相同.体现了”均匀”的性质.这是连续型分布中比较简单的一种分布,也是一种基本的分布,许多分布都可以由均匀分布利用一些变换和中心极限定理得到.10/16/2021162.4指数分布指数分布主要用于描述寿命问题,如电子产品的使用寿命,某些生物的寿命,服务台的等待时间等问题,有着广泛的应用.注意:指数分布与其他分布的关系,如分布,泊松分布,正态分布等.10/16/2021172.5正态分布正态分布是所有分布中最为

7、重要的一个分布,实际背景极为广泛,如成绩分布,身高(某个年龄)分布,测量误差分布等等.在满足一定条件下是许多分布的极限分布(中心极限定理).密度函数具有很好的性质,概率计算最终归结为查表.10/16/2021183.大数定律与中心极限定理大数定律主要揭示满足一定条件的随机变量序列,其平均的渐近性质.中心极限定理描述了满足一定条件的随机变量,其独立和的极限分布.10/16/2021193.1大数定律贝努利大数定律:设为n重贝努利试验中事件A发生的次数,p为每次试验中A出现的概率,则对任意的,有其意义是:频率将以概率收敛与概率.10/16/2021

8、203.2中心极限定理林德贝格-勒维中心极限定理:设是独立同分布的随机变量序列,且则对任意实数y,有10/16/202121隶莫夫-拉普拉斯中心极限定