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1、向量基础知识梳理1.向量：既有,又有的量叫向量.2.向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作3.向量的有关概念：(1)零向量：长度为的向量叫做零向量，记作.(2)单位向量：长度为的向量叫做单位向量.(3)相等向量：且的向量叫做相等向量.(4)平行向量(共线向量)：方向的向量叫做平行向量，也叫共线向量.%1记法：向量a平行于〃，记作%1规定：零向量与平行.1.向量的加法法则(1)三角形法则如图所示，已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b,则向量叫做a与〃的和(或和向量)，记作,即a+b=AB+BC=.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则.对于零向量
2、与任一向量a的和有a+0=+=.(2)平行四边形法则A如图所示，已知两个不共线向:Sa，b,作OA=a,OB=b,贝90、4、B三点不共线，以,为邻边作，则对角线上的向量=a+b.这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.2.向量加法的运算律(1)交换律：a+b=.(2)结合律：(a+b)+c=・1.向量的减法(1)定义：a~b=a+(―〃)，即减去一个向量相当于加上这个向量的•(2)作法：在平而内任取一点O,作OA=a,OB=b,则向量4一方=.如图所示.(3)儿何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为被减向量的终点为的向量.例如：OA-OB=1.向量数乘
3、运算实数久与向量a的积是一个，这种运算叫做向量的，记作，其长度与方向规定如下：(1)
4、肋
5、=(2)Aa(aHO)的方向时，与a方向相同吋，与a方向相反特别地，当2=0或a=0时，0a=或加=.2.向量数乘的运算律(1)A(“a)=.(2)(z+/z)a=.(3)2(a+b)=.特别地，有(一久)a==;Aa-b)=.3.共线向量定理向量a(aHO)与方共线，当且仅当有唯个实数久，使•4.向量的线性运算向量的—、—、运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b,以及任意实数2、旳、“2，恒有2(“1。±“2方)=-1.平面向量基本定理(1)定理:如果引趨2是同一平面内的两个向量，那么对于这一
6、平面内的向量a，冥数2],加，使a=•(1)基底：把的向量们，02叫做表示这一平而内向量的一组基底.1.两向量的夹角与垂直Ob_b（1）夹角：己知两个d和庆作OA=a.OB=b,则=0（（TW0W1XO。），叫做向量a与〃的夹角.%1范围：向量a与〃的夹角的范围是•%1当0=0。时，a与b.%1当0=180°时，a与b.（2）垂直：如果a与方的夹角是,则称a与〃垂直，记作.3・平面向量的坐标表示（1）向量的正交分解：把一个向量分解为两个的向量，叫作把向量正交分解.（2）向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与兀轴、y轴方向相同的两个i,j作为基底，对于平面内的一个向量a,有且只有一对实
7、数兀，y使得a=,则叫作向量a的坐标，叫作向量的坐标表示.（3）向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A（x,y）,则,若人（%
8、,八），B（也，力），贝9AB=.1・平面向量的坐标运算（1）若0=（X],），
9、）,b=（也，『2），则a+h=,即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.（2）若＜1=（xi，）“），b=（兀2，『2），则a_b=,即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.（3）若仪=（x,）‘，），久ER,则加=，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.2.两向量共线的坐标表示设a=（兀],刃），b—（兀2，），2）・（1）当a〃方时，有•（2）
10、当a//b且兀*2工0时,有.即两向量的相应坐标成比例.3.若P.P=APP2,则尸与A、巴三点共线.当疋时，P位于线段PQ的内部，特别地久=1时，P为线段的屮点；当2丘时，P位于线段户屮2的延长线上；当久丘时，P位于线段的反向延长线上.1.平面向量数量积（1）定义：已知两个非零向量a与〃，我们把数量叫做a与b的数量积（或内积），记作a•方，即a•b=a\bcos0,其中0是a与〃的夹角•（2）规定：零向量与任一向量的数量积为•（3）投影：设两个非零向量a、方的夹角为乩则向量a在方方向的投影是,向量方在a方向上的投影是.2.数量积的几何意义a・b的几何意义是数量积a•〃等于a的长度
11、
12、创与“在a的方向上的投影的乘积.3・向量数量积的运算律（1）b=（交换律）；（2）（加）•方==（结合律）；（3）（a+方）■c=（分配律）.1.平面向量数量积的坐标表示若。=3，yi）,b=（兀2，）S），贝0a•〃=•即两个向量的数量积等于•2.两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量4=（X],力），b=（兀2，『2），贝9d_L〃o.3.平面向量的模（1）向量模公式：设。=（兀I，）q）,则
13、a
14、=•（2）两点间距离
