平面向量基础知识

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1、平面向量基础知识第一课时：向量的概念向量的定义（两要素）向量与矢量、数量、标量的区别作用点、实际意义（单位）、可比性向量是矢量的抽象、数量是标量的抽象向量的表示几何表示（几何中用点表示位置、用射线表示方向起点到终点）用有向线段表示向量使向量具有几何直观性有向线段（三要素）与向量的区别（人的身高不随位置改变而改变）向量只与其起点和终点的相对位置有关，与起点和终点的绝对位置无关符号表示有向线段的起点与终点符号（大写）（具体）小写符号（抽象）手写必须带箭头（“帽子”）用符号表示向量使向量具有代数的属性坐标表示用坐标表示向量使

2、向量具有算术的属性向量的模及其表示写法与读法（“外套”）模特殊的向量零向量定义、表示0、方向单位向量定义方向的惟一性与已知非零向量共线的单位向量常用表示符号e、i、j、ｋ位置特殊的向量位置向量起点为坐标原点的向量方向关系特殊的向量与表示平行向量（共线向量“平行向量”与“共线向量”是等意词）垂直向量相等向量平移变换用之相反向量反向变换用之零向量的规定：零向量与任一向量共线，零向量的相反向量是零向量判断：1、若两向量相等，则它们的起点与终点相同2、∥＝3、若a∥b，b∥c，则a∥c4、若，则ABCD5、若a与b不共线，则a

3、≠0，b≠06、若∥，则A、B、C、D四点共线7、若∥，则A、B、C三点共线8、若AB=CD，则9、若AB=CD，则（既戴帽子，又穿外套）两个向量平行，这两个向量可以在一条直线上，这与平面几何中的“平行”的含义不同；两个向量共线，这两个向量不一定在一条直线上，这与平面几何中的“共线”的含义也不同．而规定零向量与任一向量平行，使几何中的“平行公理”对于向量平行不再成立．（在几何中，“平行”和“共线、重合”绝不相同，而在向量中，“平行”和“共线”绝对一样）向量的类型：自由向量、滑动向量、固定向量第二课时：向量的加法向量加法

4、的定义向量加法处理方法：三角形法则、平行四边形法则（当两个向量共线时，平行四边形法则不适用，只适用三角形法则；当两个向量不共线时，平行四边形法则和三角形法则是一致的）向量加法的特征：尾首相接，首尾相连（与接点的位置无关）向量的和拆分封闭折线的和向量△ABC中，G是重心＋＋＝0求和向量时需要把向量具体化、几何化向量加法的运算律：交换律、结合律向量加法的性质1、两个向量的和为一个向量2、若两个向量平行，则它们的和向量与它们也平行3、若两个向量不平行，则它们的和向量与它们也不平行4、

5、

6、a

7、－

8、b

9、

10、≤

11、a＋b

12、≤

13、a

14、＋

15、

16、b

17、，当且仅当a与b同向，或其中至少一个是零向量时，后一等号成立；当且仅当a与b反向或其中至少一个是零向量时，前一等号成立．第三课时：向量的减法向量减法的定义向量减法是向量加法的逆运算向量减法处理方法：三角形法则、平行四边形法则向量减法的特征：首首相聚，被减被指（与起点的位置无关）向量的差拆分向量减法是向量加法的逆运算，即减去一个向量等于加上该向量的相反向量求差向量时需要把向量具体化、几何化向量减法的性质1、两个向量的差为一个向量2、若两个向量平行，则它们的差向量与它们也平行3、若两个向量不平行，则它们的差向量与它们也

18、不平行4、

19、

20、a

21、－

22、b

23、

24、≤

25、a－b

26、≤

27、a

28、＋

29、b

30、，当且仅当a与b反向或其中至少一个是零向量时，后一等号成立；当且仅当a与b同向或其中至少一个是零向量时，前一等号成立．平行四边形与向量的加减法：平行四边形ABCD中＝a，＝b，若

31、a＋b

32、＝

33、a－b

34、，则平行四边形ABCD是　　　　　　第四课时：向量的加减法第五课时：向量的数乘乘法的类型、意义与表示方法乘法的加法意义乘法是加法的简便运算系数范围从自然数扩大到实数实数与向量的积的定义可看作是实数与实数的积的概念的推广向量的数乘的定义实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘

35、，其积是一个向量，记作λa，且满足（1）

36、λa

37、＝

38、λ

39、

40、a

41、；（2）当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0，总之λa∥a向量数乘的几何表示伸缩变换与反向变换向量数乘的运算律结合律、分配律（第一、第二）、交换律向量数乘与实数乘法的异同：运算结果不同，运算律相同向量的线性运算的定义向量的加法、减法、数乘及其混合运算叫做向量的线性运算，又叫向量的初等运算（结果为向量的“一次”式）向量的线性运算结果是一个向量，运算法则与多项式运算类似（去掉箭头即为多项式法则）第六课时：向量的线性表示

42、向量的线性表示：若a≠0，且b＝λa，则称b可用非零向量a线性表示，其中a叫做基底非零向量的单位向量的定义与表示公式若向量a≠0，则称与a方向相同的单位向量叫做a的单位向量；若x是a的单位向量，则x＝向量共线定理（向量共线的判定与性质）已知a≠0，（1）若b＝λa，则b∥a；（2）若b∥a；，则有且只有一个实数λ，使b＝λa只有以