向量基础知识及应用

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1、向量基础知识及应用王新敞向量基础知识及应用新疆奎屯市一中王新敞基本知识：1.向量加法的定义及向量加法法则（三角形法则、平行四边形法则）；2.向量减法的定义及向量减法法则（三角形法则、平行四边形法则）；3.实数与向量的积λ.向量共线的充要条件：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得=λ。4.向量和的数量积：·=

2、

3、·

4、

5、cos，其中为和的夹角。向量在上的投影：

6、

7、cos，其中为和的夹角⊥·=05.向量的坐标表示:;若向量，则

8、；若P1（，）、P2（，），则;

9、

10、=6.向量的坐标运算及重要结论：若=（，）,=

11、（，）,则①②③④⑤⑥+=0⑦cos=（为向量的夹角）7.点P分有向线段所成的比的：，或P内分线段时,;P外分线段时,.向量基础知识及应用王新敞8.定比分点坐标公式：，中点坐标公式：9.三角形重心公式及推导（见课本例2）：三角形重心公式：10.图形平移：设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照同一方向移动同样长度(即按向量平移)，得到图形F`，我们把这一过程叫做图形的平移。平移公式：或平移向量==（h，k）应用：1．利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题例1已知向量满足条件，，求证：是正三角

12、形解：令O为坐标原点，可设由，即②①两式平方和为，，由此可知的最小正角为，即与的夹角为，同理可得与的夹角为，与的夹角为，这说明三点均匀分部在一个单位圆上，所以为等腰三角形.例2求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为轴、轴建立直角坐标系，设，则，从而可求：,=..2．利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题向量基础知识及应用王新敞例3已知，AD为中线，求证证明：以B为坐标原点，以BC所在的直线为轴建立如图2直角坐标系，设，，则，.=，从而，.3．利用向量的坐标运算，用

13、已知向量表示未知向量例4已知点是且试用解：以O为原点，OC，OB所在的直线为轴和轴建立如图3所示的坐标系.由OA=2，，所以，易求，设.例5如图，用表示解：以O为坐标原点，以OA所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则，向量基础知识及应用王新敞.4．利用向量的数量积解决两直线垂直问题例6求证：三角形的三条高交于同一点[分析]如图，已知中，由，要证明利用向量法证明，只要证得即可；证明中，要充分利用好，这两个条件.证明：在上，而，，即①又，即②①-②得：，即从而，，.5．利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点

14、到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离.例7求平面内两点间的距离公式[分析]已知点求两点间的距离这时，我们就可以构造出向量，那么而，根据向量模的公式得，从而求得平面内两点间的距离公式为.解：设点，,而点与点之间的距离为：6.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题.例8证明:[分析]如图，在单位圆上任取两点,以为始边，为终边的角分别为，设出两点的坐标，即得到的坐标，则为向量的夹角；利用向量的夹角公式，即可得证.向量基础知识及应用王新敞证明：在单位圆上任取两点，以为始边，

15、以为终边的角分别为，则点坐标为点坐标为；则向量，它们的夹角为，,由向量夹角公式得：,从而得证.注：用同样的方法可证明7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题.例9证明柯西不等式证明：令（1）当或时，，结论显然成立；（2）当且时，令为的夹角，则.又（当且仅当时等号成立）.（当且仅当时等号成立）例10求的最值解：原函数可变为，所以只须求的最值即可，构造，那么.故.