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1、空间向量及其加减、数乘和数量积运算基础自测［小易仝活牛刀小试❶在长方体ABCD-ABXCD中，BA+BC+屈尸（）.DBB.D]BC.DB]D.BD、❷平行六面体4BCD・4BCQ中，M为力C和BZ)的交点,若4B=a,4D=b,AA—c,则下列中，底面肋CD是边长为a的正方形，侧棱加］长为b,且曲
2、与所成的处都是120°,求AC的长.类型二异面直线所成角问题已知空间四边形OABC各边及对角线长AC,08都相等,E,F分别为AB,OC的中点,求异面直线OE与所成用的余弦值.式子中与册相等的是（）D.—2»—2^+c空釧正方体MC£M］BiCQ］中，棱长为1,E为CC
3、］的中点，求异面直线AB,BE所成角的余弦值.❸在平行六面体ABCDV/iCQi中,向量画,ADX,丽是（）A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共而向量D.不共而向量❹在氏方体MCZM/iCQi中，化简AB+AD—AA1—.©已知在正方体ABCD・4BCD中，侧面CCQQ的屮心是F,^AF=AD+mAB+nAA{,则m=、n=.典例解析
4、分吳解析舷类旁通课时作业I查海补缺拓展建伸1•在空间四边形ABCD中，AB=a,BC=b,AD=C,则db等于（）A.a+〃一cB.c—a—bC.a—b~cD.b—a+c2•如图所示，已知空间四边形仙CD中，M,N=6cm,BD=8cm,求C
5、D的长.4类型一利用数量积求长度问题,已知在一个60°的二面角的棱上，有两个点昇，B,AC,BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于力〃的线段,且M=4cm,AC晅釧如图，己知平行六面体ABCD-AXBXCXDX3.已知A,B,C三点不共线，点O是平面ABC外一点，则在下列各条件中，能得到点M与儿B,C一定共而的条件为（）—>1—>1—►1—>.OM=t;OA+^OB+t:OC^.OM=^OA-pB+OCC.OM=OA+OB+OCD.OM=2OA-OB-OC4.在长方体ABCDSBCDi屮，AB=fAD=2,则丽•处i=()A.lB.OC.3D.-33.在如图所示平行六面体ABCD・
6、ABCD屮,点M在昭上，点N在DD上，H.昭,]—►—►—►►_D、N=qDQ,若MN=xAB+yAD+zAAv贝ljx+y+z=()6•正方体ABCD・ABCD的棱长为2,0是底面力BCD的中心，E,F分别是CC】，的中点，则异面宜线OE与FD、所成角的余弦值为()7.已知力，B,C三点不共线，O是平而外任意一点，若由5>=^OA+joB+XOC^定的点P与力,B,C三点共面，则久=.8.三棱柱4BSBC中，底面边长和侧棱长都相等,ZBAA}=ZCAA}=60Qf则异面直线血】与BC所成角的余弦值为.9•如图所示，设尸是正方形ABCD所在平面外一点，O为正方形MCQ的中心
7、，0是CD的中点,已知PO丄平而ABCD.(1)用基向量芬，丸,甩表示向量况?；(2)用基向量而，PQ,巫表示向蚤鬲.10.如图，已知四边形4BCD,ABEF为两个止方形，M,N分別在其对角线BF和AC±，且FM11•如图所示，直三棱柱4BC虫BC屮,AC=BC=4A‘,ZACB=90°,D,E分别为/B,BB‘的中点(1)求证：CE丄AfD；(2)求异面直线CE与MC所成介的余弦值.空间向量的坐标表示、运算及应用考点梳理I多思劫笔夯实基础1•空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组,使得.其中，s，b,c}叫做空间的一个,a,b,c都叫做.2空
8、间向量的直角坐标运算设a=(x,y},zj,b=(X2,乃，辺)，a，方是非零向量，贝I」⑴向量加法：a+b=.(2)向量减法：a-b=.(3)数乘：Xa=.(4)数量积：ab=.(5)平行：a〃方(〃工0)0U>X
9、=Zv2，(6)垂直：a丄DO0.(7)向量a的模
10、a
11、==.(8)向量a与〃夹角公式：cos〈a,b)=吕777=a\b(9)点坐标和向量坐标：若点/(xjZi),B(X2J2,Z2),则,线段的长度d^B=a^=•3.平面的法向量和法向量的求法⑴平面的法向量已知平面a,肓线/丄a,取肓线/的方向向量",则叫做平面a的法向量.(2)平面的法向量的求法:4•利用空
12、间向量表示立体几何中的平行、垂直和夹角设直线/,加的方向向量为a,b,平面a,0的法向量分别为心s贝U(1)线线平行：l//m^台.(2)线线垂直：/丄加台0.(3)线面平行：I//aO0.(4)线面垂直，方法一:/丄aO0；方法二：若勺，％为平面a的一组基底，贝ijpz丄勺，/丄U>d•勺=4宅2=0.“丄02(5)面面平行：a〃000.(6)而而垂直：(I丄“O0.(7)线线夹角：/,加的夹角为〈OW&W),cos0(8)线面夹
