高考数学总复习课时作业堂堂清数列3-4

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1、第四节 数列求和考纲要求1.掌握一些简单的数列求和的方法.2.能应用数列求和解决一些数列问题.考试热点1.以选择题或填空题的形式考查等差、等比数列的前n项和.2.以考查等差、等比数列的前n项和为主,同时考查错位相减法、裂项相消法、分组求和法等常用方法.1.公式法对于等差数列和等比数列,在求和时可直接套用它们的前n项和公式:①等差数列前n项和公式:②等比数列前n项和公式:Sn=另外,还有一些常见常用的求和公式:①1+2+3+…+n=,②1+3+5+…+(2n-1)=,③12+22+32+…+n2=n22.倒序相加法一个数列如果相等,那么求这个数列的前n项和可用倒

2、序相加法.如等差数列前n项和公式的推导.3.错位相减法如果当数列的每一项可分解为两个因式的乘积,各项的第一个因子成公差为d的等差数列,第二个因子成公比为q的等比数列,可将此数列前n项的和乘以,然后错位相减从而求出Sn.距首末两项等距离的两项和公比q4.拆项分组法把不能直接求和的数列分解成的数列,分别求和.5.裂项相消法把数列的每一项变为,以便大部分项能“正”、“负”相消,只剩下有限的几项.裂项时可直接从通项入手,并且要判断清楚消项后余下哪些项,常用裂项公式为:几个可以求和两数之差6.并项转化法有时候把两项并成一项考虑,这可以实现我们的转化目的.通常适用于数列中

3、各项的符号是正负间隔的情况.解析:∵an=2n-1,∴a1+a2+…+an=答案:D2.数列{an}的通项公式为an=(-1)n-1(4n-3),则它的前100项之和S100等于()A.200B.-200C.400D.-400解析:S100=(1-5)+(9-13)+…+{[4(n-1)-3]-(4n-3)}=50×(-4)=-200.答案:B3.若数列{an}的通项公式为an=,则前n项和为()答案:B4.1·2+2·3+3·4+…+n(n+1)=____________.解析:数列{an}的通项为an=n(n+1)=n2+n.∴数列{an}的前n项和Sn=

4、(1+2+3+…+n)+(12+22+32+…+n2)=转化为等差(比)数列求和[例1]已知等差数列{an}中,它的前n项和为Sn,如果Sn=2(n∈N*),bn=(-1)nSn,求数列{bn}的前n项和Tn.[分析]求出数列{bn}的通项bn是解题的关键.∴d=2或d=-2.经检验d=-2不合题意,应舍去.故an=2n-1,Sn=n2,∴bn=(-1)n·n2.(1)当n为偶数时,Tn=-12+22-32+42-…+(-1)n·n2=(22-12)+(42-32)+…+[n2-(n-1)2]整理得(an+an-1)(an-an-1-2)=0.∴a1=1而Sn

5、≥0故d>0,∴an>0,∴an-an-1-2=0,∴an-an-1=2,∴公差d=2.∴an=2n-1,Sn=n2,下面同解法1.[拓展提升]本题中已知数列{an}为等差数列,故可以用解法一,通过求a1,a2,进而求公差d,而解法二是借助an与Sn的关系式去求公差d,所以对此类问题既要抓住已知条件,运用“特值”的思想,又要联系一般规律(an与Sn的关系)去解决.已知数列{an}通项an=求其前n项和Sn.解:当n为奇数时,奇数项组成以a1=1为首项,公差为12的等差数列,偶数项组成以a2=4为首项,公比为4的等比数列.分组求和法[例2]求下面数列的前n项和:

6、求和:(1)Sn=1+11+111+…+错位相减法求和[例3]设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,a∈N*.(1)求数列{an}的通项;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.[拓展提升]错位相减法这种方法主要用于{an·bn}的前n项和,其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列,是高考试题中常见题型.设{an}为等比数列,a1=1,a2=3.(1)求最小的自然数n,使an≥2007;解:(1)由已知条件得an=1×()n-1=3n-1.因为36<2007<37,所以,使an≥2007成立的最小自然数n=8.裂项法求和[例

7、4]等差数列{an}各项均为正整数,a1=3,前n项和为Sn,等比数列{bn}中,b1=1,且b2S2=64,{ban}是公比为64的等比数列.(1)求an与bn;[拓展提升]如果数列的通项公式可转化为f(n+1)-f(n)形式,常采用裂项求和的方法.特别地,当数列形如{},其中{an}是等差数列,可尝试采用此法.1.直接用公式求和时,注意公式的应用范围和公式的推导过程.2.注意观察数列特点和规律,在分析数列通项的基础上,或分解为基本数列求和,或转化为基本数列求和.3.求一般数列的前n项和,无通法可循,我们要掌握某些特殊数列前n项和的求法,触类旁通.4.利用等

8、比数列的求和公式时,一定要分q=1和q

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