2016高考数学总复习课时作业堂堂清立体几何

《2016高考数学总复习课时作业堂堂清立体几何》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第五节　空间的角考纲要求1.掌握两条直线所成的角的概念．2.掌握直线和平面所成的角的概念．3.掌握二面角、二面角的平面角的概念．考试热点1.以客观题考查异面直线所成的角．2.以解答题考查直线和平面所成的角及二面角，特别是求二面角的平面角.1．异面直线所成的角：在空间取一点O，过O点分别作两异面直线的线所成的叫做两条异面直线所成的角．其取值范围为．作法：(1)平移法；(2)向量法：转化为两直线的方向向量的夹角(或其补角)．平行锐角或直角温馨提示：用向量法求异面直线所成的角时，要特别注意异面直线所成角的范围((0°，90°]

2、)与两向量夹角的范围([0°，180°])的区别．2．直线和平面所成的角：如果直线平行平面或在平面内，则它和平面所成的角的大小为；如果直线垂直于平面，则它和平面所成的角的大小为，如果直线是平面的斜线，则它和它在平面内的所成的角，称之为直线和平面所成的角．因此，直线和平面所成角的范围是．0射影锐作法：(1)几何法：引垂线，找垂足、连结垂足、斜足得射影；(2)向量法：转化为直线的方向向量与平面法向量夹角(或其补角)的余角．3．二面角的平面角：从一条直线出发的两个组成的图形叫做二面角．以二面角的棱上一点为端点，在两个面内分别作

3、两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．平面角是角的二面角叫做直二面角．半平面任意垂直于棱的直作二面角的平面角的常用方法有：(1)定义法：根据定义，以棱上任一点为端点，，则形成二面角的平面角．(2)三垂线法：从二面角一个面内某个特殊点P，于是∠PBA(或其补角)是二面角的平面角．分别在两个面内作垂直于棱的两条射线作另一个面的垂线，过垂足A作二面角棱的垂线，垂足为B，连结PB，由三垂线定理得PB与棱垂直(3)垂面法：过二面角的棱上一点作平面，分别交两个面的交线，构成二面角的平面角．常用面积的射影定理来求二面角，即＝

4、S射，它的优点是不必作出二面角的平面角．(4)向量法：两个半平面的方向向量的，即为二面角的平面角；两个半平面的法向量的为二面角的平面角．与棱垂直Scosθ夹角夹角或其补角注意：(1)空间角的计算步骤：一找(作)，二证，三计算．(2)特别注意三种空间角的范围．1．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：当面DAC⊥面ABC时，体积最大，可求得此时BD与面ABC所成角为45°.答案：C2．如图1，在

5、直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A．45°B．60°C．90°D．120°解法2：补成一个正方体，易知AB1与BC1成60°角，∴EF与BC1成60°角．答案：B3．已知P为锐二面角α－l－β内一点，P到平面α、β及棱l的距离之比为则此二面角的度数为()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：如图2，二面角的平面角为∠AOB，∠AOB＝∠AOP＋∠BOP＝30°＋45°＝75°.答案：D4．如图3，已知AB为平

6、面α的一条斜线，B为斜足，AO⊥α，O为垂足，BC为α内的一条直线，∠ABC＝60°，∠OBC＝45°，则斜线AB和平面α所成的角为________．答案：45°5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1.(1)求B1C1与平面AB1C所成角的正切值；(2)求二面角B－B1D－C1的平面角的大小．解：(1)设AB1∩A1B＝O，如图4，∵BC∥B1C1，∴BC与面AB1C所成的角即为所求．∵∠ACB＝∠BCB1，∴BC在面AB1C上的射影在OC上，∠BCO即BC与面AB1C所成的角，tan∠BCO＝.异面直线所成

7、的角[例1]正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，求异面直线AB1与C1B所成角的大小．[分析]求AB1与C1B所成的角，根据定义法平移直线化归为相交直线、构造三角形而获解．平移的手段一般是可用平移法：利用中位线平移或补体；也可用坐标法．[解]解法1：如图5，连结B1C交C1B于O，取AC中点D，连结DO、BD，则DO∥AB1，解法2：如图6，分别延长正三棱柱ABC－A1B1C1三条侧棱A1A、B1B、C1C至A2、B2、C2，使A1A＝AA2，B1B＝BB2，C1C＝CC2，连结A2B2，B2C2，A2C2，

8、则将原来的正三棱柱补成一个新的三棱柱，连结A2B，A2C1，在矩形A1A2B2B1中，A2B∥AB1，∴∠A2BC1或其补角即为所求．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，求直线AM与CN所成的角．直线与平面所成的角[例2]三棱锥P－ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA＝PB