高考数学优化指导第2章第8节

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1、第八节　函数与方程考纲要求1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.主干回顾·夯基础一、函数的零点1．定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．2．函数的零点与方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与_____有交点⇔函数y＝f(x)有______．f(x)＝0x轴零点3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a

2、，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_________，那么函数y＝f(x)在区间_______内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个___也就是方程f(x)＝0的根．f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)＝0c二、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点_____，_____(x1,0)无交点零点x1，x2x1无(x1,0)(x2,0)三、用二分法求方程的近似解1．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且___________

3、的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间___________，使区间的两个端点逐步逼近_____，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．f(a)·f(b)<0一分为二零点2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(1)确定区间[a，b]验证f(a)·f(b)<0；给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点值c；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．(4)判断是否达到精确度ε.

4、即：若

5、a－b

6、<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第(2)(3)(4)步．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)1．函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()2．函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.()3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．()4．二分法可用来求出所有情况的零点的近似值．()5．若函数有零点，则相邻两个零点间的所有函数值同号．()【答案及提示】1．×函数的零点即为函数图象与x轴交点的横坐标，零点不是点．错误．2．×如y＝x2在(

7、－1,1)上有零点，而f(－1)·f(1)>0，错误．3．√由判别式知正确．4．×对于函数y＝x2的零点不能用二分法求解，二分法的前提是要求在零点左右的函数值异号，错误．5．√正确．1．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________．解析：(－2,0)∵函数f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上有零点，又∵f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上单调递增，∴f(0)·f(1)<0.即a(a＋2)<0，解得－2

8、k的值为________．解析：3f(1)＝1>0，f(2)＝ln2>0，f(3)＝ln3－1>0，f(4)＝ln4－2<0，故f(3)·f(4)<0，所以函数的一个零点所在区间为(3,4)，因此k＝3.3．(课本习题改编)函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续的且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f(－1)·f(1)的值()A．大于0B．小于0C．等于0D．无法确定解析：选D因为f(x)在(－2,2)有一个零点，不能说明f(－2)·f(2)的符号；如f(x)＝x2，更不能判断f(－1)·f(1)的值．故选D.解析：选C由

9、题意知f(2)·f(3)<0，故零点所在区间为(2,3)，选C.5．(2012·天津高考)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选B先判断函数的单调性，再确定零点的个数．因为f′(x)＝2xln2＋3x2>0，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．考点技法·全突破(1)(2013·湖南高考)函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为()A．0B．1C．2D．3解析：选C利

10、用图象知两函数图象有两个交点．故选C.函数零点的求解与判断(1)(2014·怀化模拟)在用二分法求方程x3－2x－1＝0的